606 Gesammtsitzung vom 21. Mai. 



Pasch. Über bilineare Formen und deren geometrische Anwendung, Math. 

 Ann. Bd. 38, S. 48 bewiesen. Auf demselben Wege kann man nun 

 auch zu dem zweiten Fundamentaltheorem der Theorie gelangen: 

 VI. Ist >■(?•) der grösste gemeinsame Divisor aller Unterdeterminanten 



(n— l)"" Grades der Form rE-A, und ist ~-^ = \p(r), so ist 



(9.) ^(A) = 



die Gleichung niedrigsten Grades, der die Form A genügt, und werm 

 %(A) = irgend eine andere Gleichung ist, der A genügt, so ist yjr) 

 durch -^i 7 ') theilbar. 



Durch die Gleichung 



ep(r)- 9 (,) 

 r — s 



wird eine ganze Function F der beiden Variabein r und s definirt. 

 Aus der Gleichung 



(p(r)-(p(s) = (r-s) F{s,r), 

 folgt 



9 (r) E-<p(A) = (rE -A)F(A, r) 



und mithin ist nach (8.) 



(IO.) (rE-A)F(A,r) = c ? (r)E 



und 



Die adjungirte Form von rE— A ist demnach gleich F(A; r). ist 

 also eine ganze Function von A, deren Elemente ganze Functionen 

 von r sind. Folglich sind auch F , F l} F 2 , ■■■ ganze Functionen von A. 

 und damit B mit jeder dieser Formen vertauschbar sei, genügt es, 

 dass B mit A vertauschbar ist. Unter dieser Bedingung gilt also 

 die Gleichung 



(7*.) (B-Ä)F(A,B) = 9 (B). 



Die Elemente der Form F(A, r) sind die Unterdeterminanten 

 (11- 1)'™ Grades von rE-A, sind also sämmtlich durch 3- (r) theilbar. 

 Entwickelt man die Determinante (3.) nach den Elementen einer Zeile, 

 so erkennt man, dass auch <p(r) durch 3(r) theilbar ist. Demnach 

 sind die Elemente der Form 



die eine ganze Function von A ist, ganze Functionen von r, und 



nach (10.) ist 



(rE-A)G(A,r) = xp\r)l-:. 



