Frobenius: Über vertauschbare Matrizen. b0< 



Nach dem oben ausführlich entwickelten Princip erhält man daraus 

 eine richtige Gleichung, wenn man für r irgend eine mit A vertausch- 

 bare Form B setzt. Ist B = A, so ergiebt sich die Gleichung (9.). 



Sei andererseits %(r) irgend eine solche ganze Function von r, 

 dass %{A) — ist. Setzt man dann 



xO')-x( s 



so ist 



also 



und mithin 



H(r,s) = H(s,r), 



T — S 



x (r)E- X (A) = (rE-A)H(A,r), 



(rE-A)Il(A,r) = X (r)E 



x (r)G(A,?-) = ^(r)H(A,r). 



Die Form G(A, r) besteht aus n 2 Elementen g a g,(r), die ganze Functionen 

 von r sind und nach der Voraussetzung keinen Th eiler gemeinsam 

 haben. Auch die n 2 Elemente h aji (r) der Form H(A, r) sind ganze 

 Functionen von r. Aus den n 2 Gleichungen 



deren symbolische Zusammenfassung die letzte Gleichung ist, folgt 

 daher, dass %(r) durch \J/(r) theilbar ist. Mithin ist \^(.A) = die 

 Gleichung niedrigsten Grades, der A genügt, und jede andere solche 

 Gleichung hat die Gestalt -4/(A)g(A) = 0, wo y(r) eine ganze Function 

 von r ist. Speciell ist (p(r) durch \|/(rptheilbar. Indem man aber 

 die Determinante (3.) nach r differentiirt , erkennt man, dass jede 

 Wurzel der Gleichung \J/(;-) = auch die Gleichung <f>(r) = befriedigt, 

 dass also eine Potenz von ^/(r) durch <p(r) theilbar ist. 



Den Satz VI habe ich L. § 3 zum ersten Male ausgesprochen 

 und mit Hülfe der unendlichen Reihe bewiesen, in die sich (rE— A)~ ' 

 entwickeln lässt. Aber auch auf den vorstehenden Beweis habe ich 

 L. § 3 und besonders §13 hingewiesen. Dieser folgenreiche Satz hat 

 aber bisher nur wenig Beachtung gefunden. Den speciellen Fall, wo 

 \l(r) ein Theiler von r'"— 1 ist, den ich L. §3, VIII auch besonders 

 hervorgehoben habe, hat LirscmTz in der Arbeit Beweis eines Satzes 

 aus //er Theorie der Substitutionen^ Acta Math. Bd. X, durch Betrachtungen 

 bewiesen, die im Wesentlichen mit den obigen übereinstimmen, bei 

 denen also von der Zerlegung der rationalen ganzen Functionen in 

 lineare Factoren kein Gebrauch gemacht wird. Auch Kronecker hat 

 diesen Satz in der Arbeit über die Composition der Systeme von n 2 

 Grössen mit sich selbstj Sitzungsber. 1890, ausführlich behandelt. Diesen 

 Autoren ist es aber entgangen, dass ich jenen Satz schon 1877 a ^ s 

 Specialfall des allgemeinen Satzes VI bewiesen habe. Auch den eng- 



