Frobenius: Über vertauschbare Matrizen. 609 



in derselben Weise den Wurzeln b,c,--- die Functionen g(r) , h{r) , • ■ ■ , 

 so ist 



(I.) Ar)+9{r)+Hr)+— = l, 



weil die Differenz zwischen der linken und rechten Seite eine ganze 

 Function (w — l) ten Grades ist, die durch (r-a) a , (r-b) & , (r — c) y , • ■ ■ also 

 durch die ganze Function n ten Grades (p(r) theilbar ist. 



Die Function f(r) kann auch als der Coefficient von (s-a)' 1 in 

 der Entwicklung von 



<p(r) - <p(s) 1 



^ ■' r—s cp(s) 



nach aufsteigenden Potenzen von s — a definirt werden. Zunächst ist 

 nämlich in der Entwicklung dieser Function nach fallenden Potenzen 

 von s der Coefficient von s" 1 gleich 1. Da ferner diese Function 

 nur für die Werthe s — a,b,c, ■•• , aber nicht für s = r unendlich 

 wird, so ergiebt sich aus dem Residuensatze die Gleichung (1.). Weil 

 der Ausdruck (2.) eine ganze Function von r ist, so sind auch seine 

 Residuen f(r),g(r),h(r), ••• ganze Functionen höchstens (w-l) ten Grades 

 von r. Die Entwicklung des zweiten Gliedes der Differenz 



<p(r) 1_ 



(r — s)cp(s) r — s 



nach steigenden Potenzen von s — n enthält keine negativen Potenzen 

 von s-a, die des ersten ist 



cp(j- 



/ 1 + s-a + (s-a) 2 + \ / «0 + «1 + ■■■] 

 \r — a (r — a)- (r — a) 3 ) \(s — a)" (s — a)"- 1 /' 



falls die letzte Reihe die Entwicklung von — -r- ist. Folglich ist 



CD (V) & ( r} 



/■(?•) = -V^ — r^; wo S-(r) eine s-anze Function (a-l) ten Grades von r ist. 



J (r — a)" 



Mithin ist f(r) durch tp(f) (r — a)~ " theilbar, ebenso g{r) durch 

 <p(r)(r-by B , ■■■ , und weil jede der Functionen g(r), h(r), ■ ■ ■ durch 

 (r— a) a theilbar ist, so ist nach (1.) auch /(?•) — 1 durch (r — a)" theilbar. 

 Ich will jetzt die Bezeichnung ändern und die n Wurzeln von 

 (p (r) mit Oj , o 2 , • • • a n , die verschiedenen unter ihnen mit a l ,a i , ■■■ a m 

 und die ihnen entsprechenden ganzen Functionen (n— l)"' n Grades mit 

 <t>A r )r </>2 (''))••• <p m ( r ) bezeichnen. Nach Gleichung (1.) ist dann 



(3-) 2 9xM = l 



und mithin 



(4-) *<PAA) = E. 



Ferner ist cp x (r) (cp x (r) - 1) durch <p(r) theilbar, und wenn x und A ver- 

 schieden sind, auch <p„(?')cp x (r). Folglich ist 



