610 Gesammtsitzung vom 21. Mai. 



(g.) (<p,(A)y = 9> (A), < Plt (A)<p>.(A) = 0. 



Ist endlich 



(6.) %a>.<fr.{A)-A = A<>, 



so sind nach dem Satze IV die Wurzeln der charakteristischen Gleichung 

 von A alle Null , und daher ist A" = 0. Die durch die Gleichungen 

 (4.) und (5.) ausgedrückten Eigenschaften der Formen cp x {A) hat auch 

 Study, Recurrirende Reihen und bilineare Formen, Monatshefte für Math. 

 und Physik, Bd. II, behandelt. Auf einem anderen Wege habe ich sie 

 in meiner Arbeit Über die schiefe Invariante einer bilinearen oder qua- 

 dratischen Form, Ceelle's Journ. Bd. 86, §6, hergeleitet. 



Ist B eine mit A vertauschbare Form und sind x 1 ,x a , ■•• x m und y 

 Variable, so ist 



(.r 1 E + l/q , 1 (A)B)(x,E + y 92 (A)B)---( J;m E + y q > m (A)B) 



/ 99l (A)B 



\ #1 



yy,(A)B | [ y 9m {A)B 



Alle übrigen Glieder der Entwicklung des Productes verschwin- 

 den, z. B. ist <p 1 {A)B(p 2 {A)B = ^(A)(p^Ä)B^ = 0. Multiplicirt man die 

 Form auf der rechten Seite noch mit X x x <p,(A), so ergiebt sich nach (5.) 



2 4 cp, (A) + y ( 9l (A) B + 9% (A)B + ■ ■ • + 9 „, (A) B) ■ 



Nach (4.) ist folglich 



(7-) (^,9>iA))n(^E + y v ,(A)B)=(yB + X^,(Ä))n(x,), 



und daher sind auch die Determinanten dieser beiden Formen ein- 

 ander gleich. Die Determinante von x } E+y(f) > (A)B ist die (homogen 

 gemachte) charakteristische Function von — (p > (A)B, also eine ganze 

 homogene Function n ten Grades von x x und y, worin der Coefficient 

 von #" gleich 1 ist. Die Determinante von 2x x <p>.(A) ist nach Satz IV 

 ein Product von n Factoren Zx x <p x (a K ). Sie verschwindet nicht iden- 



n. 



tisch, weil sie nach (4.) für a\ = x 2 = • •• = x m = 1 den Werth 1 hat. 

 Folglich ist auch die Determinante der Form yB + Xx x cp > (A) von Null 

 verschieden und ein Product von n linearen Functionen der Variabein 

 $!, x 2 ,---x m und y. Setzt man x k = xa x -r, so wird nach (4.) und (6.) 



5# x <p x (x4) = x 2 a x <p>.(A )—rE = xA — rE + xA . 



Da aber A mit xA + yB-rE vertauschbar ist und A" = ist, so ist 

 nach §2 die Determinante von xA + yB — rE + xA gleich der von 

 xA + yB — rE. Diese ist also ein Product von n linearen Functionen 

 von x, y und r. Damit ist der Satz V bewiesen, aus dem dann der 

 allgemeinere Satz III folgt. 



