Frobenius: Über vertauschbare Matrizen. hll 



§4- 



Seien A l , A 2 , ■■• A m /» Formen, von denen je zwei vertauschbar 

 sind. Sind für y = 1 , 2 , • • • m 



a aSy (a,ß= 1,2, ••• n) 



die Elemente von A y , so folgt aus A A 6 = A s A y 



( j ) X a «x y öx/36 = X a «iS a Viy 



Dann ist , wenn x l} x 2 , ■ ■■ x m und r Variable sind , 



( 2 . ) 1 2 A yX y - rE | = n ( r[" , x l + ■■■+ r^x m - r), 



y * 



wo rij', r^ 2) , • • • r { y ] die Wurzeln der charakteristischen Gleichung von 

 A y sind. Ist 



A=.'£ l AyXy, rt„s = 2 «<«3y #<y, 



so sind 



(3.) , w =2>i% 



die Wurzeln von A. Durch die Formel (2.) sind die Wurzeln der 

 Formen A x , A 2 , ■■■ A m und A einander in bestimmter Weise zugeordnet, 

 und um für dies Entsprechen eine bequeme Ausdrucksform zu haben, 

 will ich r£> (resp. r w ) die >c te Wurzel von A y (resp. von A) nennen. 

 Ist dann /(u^ , u 2 , • ■ • u„) eine Function von u^ , u 2 , ■■■ u m , so ist 

 /(ff», rl:\-'-it } ) die x tc Wurzel der Form f(A lf A 2 , ■ ■ ■ A m ). 

 Durch Coefficientenvergleichung ergiebt sich aus (2.) 

 v r M = ^,a aa =%a cvA as i 



und 



X,X 0,3 ",3> « 



und mithin ist 



Ia \ 2(r M Y = 2 <'ui, «=,<x x x x>r. 



Setzt man also 



/ r ) % &<&» «=«x = <-"*x = Cxx • 



\J'' a,l 



so ist 



(6.) X(>- i " ) )- = Xc al x a x & , 



also 



( 7 .) «*-*£•# 



