Frobenius: Über vertauschbare Matrizen. 613 



so genügen die Coefficienten der linearen Factor en, in die sich die Deter- 

 minante 



| %a a2y x y -re aS) \ = Il(r l l " ) a; 1 H \-r„ic„-r) 



v « 



zerlegen lässt, sämmtlieh den Gleichungen 



r&r y = %a aiiy r a 



und sind die einzigen Lösungen derselben. 

 Nach Formel (7.) ist nun weiter 



(14.) 1^1 = 1^^ 



und daraus folgt der durch seine Praecision ausgezeichnete Satz von 

 Dedekind: 



IX. Genügen die n 3 Grössen a aiy den Gleichungen 



a aüy = a ay,l ) 2 a «>-y a X/3S = 2 °WS ö \3y 



X X 



und ist die aus den Grössen 



C K >. = 2, ««ß» a ö«x = 2 a ««E> «/W 



gebildete Determinante n' m Grades von Null verschiedeiij so haben die 

 Gleichungen 



r ß r y = 2 a «&y r a 



genau n verschiedene Lösungen r a — r^j und die aus diesen Lösungen ge- 

 bildete Determinante n' en Grades ist von Null verschieden. 



Ist \r^\ == 0, so kann man n Grössen x lt x 2 , -■• x n , die nicht 

 alle Null sind, so bestimmen, dass die n Grössen (3.), die Wurzeln 

 der charakteristischen Gleichung von A, sämmtlieh verschwinden, und 

 mithin verschwindet eine Potenz dieser Form A. Die nothwendige 

 und hinreichende Bedingung für das Verschwinden jener Determinante 

 besteht also darin, dass es in der Formenschaar XA y x y eine Form 

 giebt, von der eine Potenz Null ist, ohne dass sie selbst Null ist 

 (vcrgl. Weierstrass, a. a. 0. S. 402). 



Ist Ir^'l von Null verschieden, so sei (s^) das complemen- 

 täre System zu (r« 1 ), d. h. das conjugirte System des inversen, also 

 wenn e aß die Elemente von E sind, 



(15.) %t&$ = e ali , Xr^s^ = e^. 



Dann folgt aus (10.) die Gleichung 



(16.) a a s y =Zs i : ) ?tfr y * ) 



und 



(17.) *L" , ?i K) = 2««3 y Ä ( 3' ) , 



