Busse: Über eine punktweise Beziehung von Flächen auf einander. 65 V 



Die rechtwinkligen Coordinaten der Punkte des Flächenstückes $' 

 werden als Functionen conjugirter complexer Parameter u, v von der 

 Art betrachtet, dass der Ausdruck für das Quadrat der Länge des 

 Linienelementes die Form annimmt 



da ' = q) dtldv. 



Die rechtwinkligen Coordinaten der Punkte des Fläclienstückes JV 

 seien Functionen derselben Parameter, so dass diejenigen Punkte der 

 beiden Fläclienstücke $ und $' einander zugeordnet werden, welche 

 denselben Werthepaaren u, v entsprechen. Bei dieser Wahl der Para- 

 meter möge sich für das Quadrat der Länge des Linienelementes des 

 Flächenstückes JV der Ausdruck 



ds n = E'dir + iF'dudr + G'dr 

 ergeben. 



Die Differentialgleichung der geodaetischen Linien der Fläcbe *' ist 



,, 3 log cp' , 9 log m' 



(24.) v = 2 — v 2 — v ' 



y 4 ' du dv 



und die Diffei'entialgleichung der geodaetischen Linien der Fläche JV 



(25) v" = A' + B'v' + C'c n + D'v'\ 



wobei die Coefficienten Ä, B , €' , D' Functionen der Grössen E ', F'. G' 

 und deren ersten Ableitungen in Bezug auf die Variabein u und v sind. 

 Der gestellten Bedingung zufolge müssen die Differentialgleichun- 

 gen (24) und (25) identisch sein. Daraus ergeben sich die für das 

 Bestehen der verlangten Beziehung zwischen den Flächenstücken g 

 und 4> nothwendigen und hinreichenden Bedingungen 



A! = , D' = 0, 



ß , = 8 log 9' c _ 3 log <p' 



3m ■'■ 



Es werde nun ein Flächenstück S x von der Beschaffenheit ein- 

 geführt, dass das Quadrat der Länge des Linienelementes desselben 

 durch den Ausdruck 



(26) ds\=f ] dudv 



dargestellt wird, wobei /' die durch die Gleichungen (8) definirte 

 Hülfsfunction bezeichnet. 



Da der Definition der Function /j gemäss 



B _ 3 log/ c=- 3 Io g^' 



ist und nach (4) die Gleichungen 



.4 = 0, D = 



