Busse: Über eine punktweise Beziehung von Flächen auf einander. 1)55) 



dass jeder geodaetischen Linie des einen eine Linie constanter geo- 

 daetischer Krümmung des anderen entspricht. Denn das erste Inte- 

 gral ergiebt nur Flächenstücke, welche den Bedingungen des DiNi'schen 

 Problems gemäss auf einander bezogen werden ; diese aber werden 

 niemals, wenn von der Ähnlichkeit im Grossen und Ganzen abgesehen 

 wird, in Folge dieser Beziehung conform auf einander abgebildet. 



Das Ergebniss der vorstehenden Untersuchung kann folgender- 

 maassen zusammengefasst werden: 



Zu den Flächenstücken 2 , welche sich auf ein Flächenstück S 

 in der Art punktweise eindeutig beziehen lassen, dass jeder geodae- 

 tischen Linie des Flächenstückes S eine Linie constanter geodaetischer 

 Krümmung des Flächenstückes 2 entspricht, gehören die Flächenstücke 

 S, , welche den specielleren Bedingungen der DiNi'schen Aufgabe ge- 

 nügen. 



Ausser den Flächenstücken S, giebt es nur in dem Falle noch 

 andere, den allgemeineren Bedingungen der hier gestellten Auf- 

 gabe genügende Flächenstücke 2 , wenn das Flächenstück S die Bie- 

 gungsfläche einer Rotationsfläche ist. Jedes dieser Flächenstücke 2 

 ist, in Folge seiner den Bedingungen der vorliegenden Aufgabe ge- 

 nügenden Beziehung auf das Flächenstück S, in der Weise auf eines 

 der Flächenstücke S, conform abgebildet, dass jeder geodaetischen 

 Linie des Flächenstückes S 1 eine Linie constanter, im Allgemeinen von 

 Null verschiedener geodaetischer Krümmung des zugehörenden Flächen- 

 stückes 2 entspricht. Die Flächenstücke S, und die in der angegebenen 

 Weise auf die Flächenstücke <S, conform abgebildeten Flächenstücke sind 

 ebenfalls auf Rotationsflächen abwickelbar und stellen alle Flächen- 

 stücke 2 dar, welche auf ein in eine Rotationsfläche verbiegbares 

 Flächenstück S den Bedingungen der vorliegenden Aufgabe gemäss 

 bezogen werden können. 



Ist das Quadrat der Länge des Linienelementes des auf eine Ro- 

 tationsfläche abwickelbaren Flächenstückes S in der Form 



ds' = E(u)(du- + dv 2 ) 



gegeben, so sind die Ausdrücke für die Quadrate der Längen der 

 Linienelemente der den Bedingungen der DiNi'schen Aufgabe genügen- 

 den Flächenstücke <S, 



i. ds 2 = E(u) (du'+dv*), 



E(n) j dir dv' 



2. ds' = — ~V H-^-r + 



m ( E(u) + in) \ E(u) + m in 



Daraus ergeben sich mit Hülfe der Gleichung (23") folgende Aus- 

 drücke für die Quadrate der Längen der Linienelemente der übrigen 



