— Busse: Über eine punktweise Beziehung von Flächen auf einander. 661 



ergiebt, so ist die Differentialgleichung der Linien constanter geodae- 

 tiseher Krümmung des Flächenstückes %' 



j_ ay _ 1 plogy' \ 2 \ v , . / 1 ay 3 / aio gy ' \A , 



tp' 3m s 2 \ 9m ) J y<p' 3» s 2 \ 3ü / ) 



(27) »'" — -|V '" 



Werden die rechtwinkligen Coordinaten der Punkte des Flächen- 

 stückes o als Functionen derselben Parameter betrachtet, so dass 

 diejenigen Punkte der beiden Flächenstücke S' und X' einander zu- 

 geordnet werden, welche denselben Werthepaaren u, v entsprechen, 

 so möge sich für das Quadrat der Länge des Linienelementes des 

 Flächenstückes S' der Ausdruck 



ds'~ = E'du" + •iF'dudv + G'dv" 

 ergeben. 



Die Differentialgleichung der Linien constanter geodaetischer Krüm- 

 mung des Flächenstückes S' ist 



(28) (E' + iF'v' + G'v n )v'" - 3 (F' + G'v')v' n + M(it, v, »>" + N(u, v, »') = 0. 



Durch Vergleichung der beiden Differentialgleichungen (27) und 

 (28), welche der gestellten Bedingung zufolge identisch sein müssen, 

 ergiebt sich in der That 



E' = G' = 0. 



Ist das Quadrat der Länge des Linienelementes der auf eine be- 

 liebige Rotationsfläche abwickelbaren Fläche S, auf die Form gebracht 



ds\ = du" + cp"(u)dv 2 . 



so ist nach den Untersuchungen des Hrn. Darboux 1 das erste Integral 

 der Differentialgleichung der Linien von der constanten geodaetischen 

 Krümmung k 1 



dv a l +kAcp(u)du 



< 2 9) du' 



cp(w) 1/ cp" (m) — [o, + k t (p(u)du 



Aus dieser Formel ergiebt sich für die geodaetischen Krümmungen 

 k } und x zweier einander entsprechenden Linien constanter geodae- 

 tischer Krümmung der Flächenstücke S } und 2 die Beziehung 



x = c,ä-, — a,. 



Ist die geodaetische Krümmung l\ gleich Null, so stellt die 

 Gleichung (29) den bekannten die geodaetischen Linien auf Rotations- 

 flächen betreffenden C'LAiRAUT'schen Lehrsatz dar und zwar hat die 

 in diesem Lehrsatze vorkommende Constante den Werth er,. 



1 Legons sur la theorie generale des surfaces, III. partie, p. 152 f. 



