662 Gesammtsitzung vom 11. Juni. — Mittheilung vom 30. April. 



V. Anwendung auf die Flächen constanten Krümmungs- 

 maas s es. 



Es sollen nun alle Flächenstücke — bestimmt werden, welche 

 sich auf die Theile einer Fläche constanten Krümmungsmaasses S in 

 der Art punktweise eindeutig beziehen lassen, dass jeder geodaetischen 

 Linie des Flächenstückes S eine Linie constanter geodaetischer Krüm- 

 mung des Flächenstückes 2 entspricht. 



Nach den Untersuchungen der Mi. Beltrami und Dini lassen 

 sich auf die Theile einer Fläche constanten Krümmungsmaasses S die 

 Theile einer jeden Fläche constanten Krümmungsmaasses S, und nur 

 einer solchen in der Art punktweise eindeutig beziehen, dass jeder 

 geodaetischen Linie des Flächenstückes S eine geodaetische Linie des 

 Flächenstückes »S, entspricht. 



Weil die Flächen constanten Krümmungsmaasses auf Rotations- 

 flächen abwickelbar sind, so sind nach dem Ergebnisse des dritten 

 Abschnittes noch diejenigen Flächenstücke 2 zu bestimmen, welche 

 sich auf die Theile einer Fläche constanten Krümmungsmaasses <S, in 

 der Weise conform abbilden lassen , dass jeder geodaetischen Linie 

 des Flächenstückes S, eine Linie constanter geodaetischer Krümmung 

 des Flächenstückes 2 entspricht. 



Zu diesem Zwecke ist das Quadrat der Länge des Linienelementes 

 der Fläche constanten Krümmungsmaasses S t in der allgemeinsten 

 Weise in der Form darzustellen 



ds\ =f l (iv)(htdr, u + v = w . 



Aus der Bedingung, dass das Krümmungsmaass K l der Fläche 

 <S, constant ist, ergiebt sich für die Function /,(«?) die Differential- 

 gleichung 



13 °' a, _^_const. _ ^ ^ 



Es sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem das Krümmungs- 

 maass Ä" von Null verschieden ist, oder den Werth Null besitzt, 

 i. Wenn 



A',^0 



ist, so ist das allgemeine Integral der Differentialgleichung (30) 



Mw)=Mu + v)= ^ +be ^ r 



wobei (i und b willkürliche reelle Constanten bezeichnen. Die Will- 



kürlichkeit der Constanten b wird durch die Bedingung beschränkt. 



dass sie positiv oder negativ sein muss, je nachdem k x reell oder 

 rein imaginär ist. 



