Busse: Über eine punktweise Beziehung von Flächen auf einander. 66 H 



Aus der Formel (23*) ergiebt sich in diesem Falle für das Qua- 

 drat der Länge des Linienelementes der Fläche 2 der Ausdruck 



, . 4&i a 2 be° i " + '' 1 , , 



da' ■=.- p; — „ dudv. 



(c, — Ak\a + bc^e )' 



Das Krümmungsmaass dieser Fläche 



1 c > 4 

 k~ fr; 



ist constant und kann jeden beliebigen Werth annehmen. 

 2. Ist 



K= 0, 

 so wird 



_/> + ti) = //V"" + ", 



wobei a und b willkürliche reelle Constanten bezeichnen. 

 Für den Fall 



« = 



ergiebt sich für das Quadrat der Länge des Linienelementes der zu- 

 gehörenden Fläche X der Ausdruck 



da 2 = r-j- du dv. 



(c, + b-{u + v)y 

 Das Krümmungsmaass dieser Fläche 



ist constant und negativ. 

 Ist 



4=-^ 



«5 0, 



so ergiebt sich 



cfb 2 e°'" +v) 

 do~~ = —, ,- „,■■■■ !>-. dudv. 



(w, + &v"" + "r 



Das Krümmungsmaass der in diesem Falle erhaltenen Fläche 2 

 1 



X" 



ist constant und kann jeden beliebigen Werth annehmen. 



Aus der vorstehenden Untersuchung ergiebt sich der Satz: 



Auf die Theile einer Fläche constanten Krümmungsmaasses <S, 

 können die Theile einer jeden Fläche constanten Krümmungsmaasses 

 2 und nur einer solchen in der Art conform abgebildet werden, 

 dass jeder geodaetischen Linie des Flächenstückes <S, eine Linie con- 

 stanter geodaetischer Krümmung des Flächenstückes 2 entspricht. 



Dieser Satz gilt auch in der Form: 



Auf die Theile einer Fläche constanten Krümmungsmaasses S l 

 können die Theile einer jeden Fläche constanten Krümmungsmaasses 



