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Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines 



algebraischen Körpers und den Substitutionen 



seiner Gruppe. 



Von G. Frobenius. 



In seiner Arbeit Über die Irreduc/i/iitifiit von Gleichungen (Sitzungsber. 

 1880, S. 155) hat Kronecker folgenden Satz entwickelt: 



Ist *(a. - ) eine ganze ganzzahlige Function von x, durchläuft p alle 

 positiven rationalen Primzahlen, und ist v p die Anzahl der reellen Wurzeln 

 der Congruenz $(;r) = {tnod.p), so ist 



(I.) ^ Vl ,p- l -'° = mlog( — \ + 



w«: 



wo in die Anzahl der irreductibeln Factoren von <b(x) und ?ß{w) eine nach 

 ganzen positiven Potenzen von w fortschreitende, für hinreichend kirim 

 Werthe von w convergente Reihe bezeichnet. 



Er beweist mittelst dieses Satzes nicht nur die Irreductibilität 

 einiger Zahlengleichungen . sondern er macht auch noch auf mehrere 

 andere arithmetische und algebraische Fragen aufmerksam, die sich 

 mit seiner Hülfe erledigen lassen, namentlich auf die Frage nach der 

 Dichtigkeit der Primzahlen, für welche eine gegebene Congruenz eine 

 bestimmte Anzahl von reellen Wurzeln hat. Diese Untersuchung soll 

 hier nach den von ihm gegebenen Andeutungen weiter ausgeführt 

 werden. 



Ich habe die folgende Arbeit im November 1880 verfasst und 

 die darin entwickelten Resultate meinen Freunden Stickelberger und 

 Dedekind mitgetheilt. Ihre Grundlagen stehen in engster Beziehung 

 zu den Gesetzen , nach denen die rationalen Primzahlen in einem al- 

 gebraischen und speciell in einem normalen Körper in ideale Prim- 

 factoren zerlegt werden. Nach einigen Bemerkungen in Dedekind's 

 Schriften musste ich annehmen, dass dieser sich mit der Erforschung 

 jener Gesetze seit langer Zeit beschäftigt hatte, und in der That sandte 

 er mir auf meine Anfrage am 8. Juni 1882 das Skelett dieser Theorie, 

 das er unter dem Titel Zur Theorie der Ideale am 10. September 1S94 



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