690 Gesammtsiteung vom 25. Juni. 



in den Göttinger Nachrichten publicirt hat. Ich hatte immer gewünscht, 

 dass dieser Abriss vor meiner eigenen Arbeit veröffentlicht würde, 

 und dies war mit der Grund, weshalb ich mich erst jetzt zu ihrer 

 Herausgabe entschlossen habe. Indessen habe ich den gruppentheo- 

 retischen Theil der Untersuchung schon 1887 in der Arbeit über die 

 Congruem nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebadeten Doppelmodul, 

 (relle's Journal Bd. 101 publicirt. 



Wenn man die in Dedekind's Arbeit dargelegten Beziehungen als 

 bekannt voraussetzt, lässt sich die vorliegende Untersuchung wesent- 

 lich abkürzen. Auf diesem Wege hat Hurwitz den in § 5 dieser Ar- 

 beit entwickelten Satz gefunden, wie er mir in einem Briefe vom 

 2. Januar 1896 mitgetheilt hat. Dies Schreiben hat mich bewogen, 

 meine ursprüngliche Absicht, die vorliegende Untersuchung ganz um- 

 zuarbeiten, aufzugeben, und sie, von einigen Kürzungen abgesehen, 

 genau in der Form zu veröffentlichen, wie ich sie 1880 abgefasst habe. 



§ i- 

 Sei <B die Gruppe aller n\ = s Substitutionen von n Symbolen. 

 Sind A,B,S Substitutionen von ©, und ist S _1 AS = B, so heissen 

 A und B ähnliche Substitutionen, und S heisst die Transformation, 

 die A in B überführt. Die Gesammtheit der Substitutionen von <B, 

 die einer bestimmten und folglich auch unter einander ähnlich sind, 

 nenne ich eine Classe von Substitutionen. Besteht eine Substitution 

 einer Classe aus e Cyklen von f x ,f 2 , ■•■/, Elementen, so nenne ich 

 die Zahlen /i,/ 2 , •••/,, welche der Bedingung 



(2.) /1+/2+ ••• +/. = « 



genügen, die Invarianten der Classe, weil ihre Übereinstimmung die 

 nothwendige und hinreichende Bedingung für die Ähnlichkeit zweier 

 Substitutionen ist (Cauchy, Exerckes d'analyse et de physique math. tom.3, 

 p. 165). Diese Classen, deren Anzahl /sei, mögen so angeordnet werden, 

 dass eine spätere Classe nicht eine grössere Anzahl von Invarianten be- 

 sitzt als eine frühere. Die erste Classe besteht also aus der identischen 

 Substitution E und hat n Invarianten, deren jede gleich 1 ist; die zweite 

 Classe hat n-\ Invarianten, von denen eine gleich 2, die anderen gleich 

 1 sind, u. s.w., die l^ Classe hat nur eine Invariante n. Dabei ist die 

 Anordnung der Classen, welche gleich viele Invarianten haben, ganz 

 willkürlich gelassen. Ist X eine der Zahlen von 1 bis /, F irgend eine 

 Substitution der X tc " Classe, und sind £,,&,,■•• S, die ä Substitutionen 

 der Gruppe <2 in irgend einer Reihenfolge, so sind 



ST , f , S, 1 ^FS», ••• S7 l FS, 



