Frobenius: Zur Theorie der Primideale. dUl 



alle Substitutionen der Ä ,eu Classe. Sind i\ derselben gleich F, giebt 

 es also v- K mit F vertauschbare Substitutionen, so sind je i\ jener s Sub- 

 stitutionen einander gleich. Ist daher s } die Anzahl der verschiedenen 

 Substitutionen der A tcn Classe, so ist s = s>i\. 



Sei q>(.r) eine ganze ganzzahlige Function n ten Grades von x ohne 

 quadratischen Theiler, in welcher ich der Einfachheit halber den Coef- 

 ficienten von x" gleich 1 voraussetze. Sei p eine positive rationale Prim- 

 zahl, die nicht in der Discriminante d von <p(x) aufgeht, und sei 



9(0 = ^1« P,(t) ••• Ptf) (mod.p), 

 wo P lt P 2 , ••• P e Primfunctionen (mod. p), bez. von den Graden 

 fi>ft! "'fi seien. Ist/ ein gemeinschaftliches Vielfaches von/ i; / 2 , ■•■f e 

 und P(t) eine Primfunction /""" Grades, so giebt es f x verschiedene 

 ganze Functionen x von /, die der Congruenz P 1 (x)^0 (modd. p, P) 

 genügen. Ist x x eine derselben, so sind x{ = x 2 , x% = x 3 , ■ ■■ xj-_ x = x f 

 die übrigen, und es ist xß^x x . Sind daher x lt x a , • ■ • x„ die n ver- 

 schiedenen Functionen von t, die der Congruenz <p(a;) = (modd. p,P) ge- 

 nügen, und ist x[ = x a , xl=x & , ■■■x^ = x y , so stimmen x a , x ä ,---x y , ab- 

 gesehen A r on der Reihenfolge, mit x lt x a , ■■■ x„ überein, und die Sub- 

 stitution 



(#! X-i ■■■ x„ \ 

 X„ X^ ■ ■ ■ XyJ 



besteht aus e Cyklen von je f x ,f % , •■■ f e Elementen. Ist <p(x) gegeben, 

 so hängen die Zahlen f 1} f 2 , ••/, allein von der Primzahl p ab, die 

 Substitution F aber ausser von p auch noch von der Wahl der Prim- 

 function P. Wie man dieselbe aber auch wählen mag, so ist doch 

 die ('lasse von Substitutionen, der F angehört, immer dieselbe, 

 und mithin ist diese durch p allein vollständig bestimmt. Wir wollen 

 daher sagen, diese Classe von Substitutionen und die Primzahl p ent- 

 sprechen einander. 



Ist \l(-i'i- •*'.;• ■•■ *<"„) eine Function von x t , x.,, ■■■ x n , so bezeichne 

 ich die Function ^(x„, x 3 , ■■■ x) auch mit •>i(a\, x 2 , •■• x n ) F . 



Sind £j , £ 2 , • ■ • £„ die n Wurzeln der Gleichung 9 (x) = , so ist 

 jede ganze ganzzahlige symmetrische Function von £ I; £ 2 , •■•%„ eine 

 ganze ganzzahlige Function der Coefficienten von tp(x) und daher der 

 analogen Function von x l ,x.,,---x n (modd. p, P) congruent. 



§ 2. 

 Sei © eine beliebige Gruppe von Substitutionen, g ihre Ordnung, 

 und sei vi^. t... ■■■ t,) eine ganze ganzzahlige Function der n unab- 

 hängigen Variabein t lt t a , ■■■ t„. welche durch die Substitutionen von 



