Frobenius: Zur Theorie der Primideale. 693 



Zunächst ist die Anzahl v p der reellen Wurzeln der Congruenz 

 4> (.f) — (mod. p) zu bestimmen. Nennt man zwei Functionen einer 

 Variabein x congruent, falls ihre entsprechenden Coefficienten der 

 Reihe nach congruent sind, so ist 



* (x) = ri (x - 4> (xx ,x t , ■■ ■ x n )s) (modd.p, P), 



weil die Coefficienten von $(x) symmetrische Functionen von ^ , £ , • • • £ 

 sind. Mithin sind die s Ausdrücke -^fai , x 2 , ■■■ x„) s die Wurzeln der Con- 

 gruenz $ (x) = o (modd. p , P). Damit eine dieser Wurzeln y\/(x , x^, ■ ■ ■ x,) 

 einer rationalen Zahl congruent sei, ist nach dem FERMAT'schen Satze 

 noth wendig und hinreichend, dass 



d ■(.}■> , av , ■•■ x T ) = (dj(x, . .iv , • ■ • x T jy = ty{x* , xl , • ■ • x p T ) (modd. p. P) 



ist, Sei 



falls Xi ^i x« , x{ = x 3 , ■■ ■ xl = x y ist. Dann lautet die obige Bedingung 



i|/(.ri , Xi . ■■ ■ x„) s = 4/(.r, , x a . • • ■ x„) 8P 



3Iithin müssen die Substitutionen <S und SF in Bezug auf die Gruppe © 

 einander gleich sein, oder es muss SFS' 1 in © enthalten sein. Daher 

 giebt die Zahl v p an, wie viele der s Substitutionen 



s,f s:\SiFs; 1 , ■■■ SsFs; 1 



der Gruppe © angehören. Sei F eine Substitution der A tLU Classe und 

 g x die Anzahl der in © enthaltenen Substitutionen dieser Classe. Unter 

 jenen s Substitutionen befindet sich jede Substitution der A tcn Classe und 



jede v x = — mal. Folglich sind g x — dieser Substitutionen in © enthal- 



*x S x 



ten, und mithin ist 



(3.) »-**• 



Nunmehr ist die Anzahl m der irreductibeln Factoren von 4>(x) 

 zu ermitteln. Zu dem Zwecke benutze ich den folgenden Satz (Camille 

 Jordan, Tratte des substitutlons , § 366): 



Ist © eine Gruppe von Substitutionen, zu der die Function 

 ■^(^u &s " £,,) gehört, ist $ die Gruppe der Gleichung <p(x) = 0, V 

 der grösste gemeinsame Divisor von © und £> , und sind d und h 

 die Ordnungen der Gruppen <D und 5, so genügt yp einer irreduc- 

 tibeln Gleichung vom Grade - T mit rationalen Coefficienten. Sind 



h 

 A, B, ■■■ die -7 in Bezug auf © verschiedenen Substitutionen von ©, 



so sind u/ A , 4/ B , ••• die Wurzeln dieser Gleichung. 



