Frobenius: Zur Theorie der Primideale. 695 



Durchläuft p ? alle Primzahlen, die der X tcn Classe von Substitu- 

 tionen entsprechen, so ergiebt sich jetzt aus den Formeln (i.), (3.) 

 und (5.) 



Nach einer früheren Bemerkung ist es dabei gleichgültig, ob die 

 in den Discriminanten d und d' aufgehenden Primzahlen ausgeschlossen 

 werden oder nicht. Setzt man 



(6.) S|,ri- = *Llog(_Lj + % {w 



wo sich die Summe auf alle der A ten Classe von Substitutionen ent- 

 sprechenden Primzahlen bezieht, so ist also 



(7-) Slr^=W 



Indem man in dieser Gleichung für © andere und andere Gruppen 

 wählt, erhält man so viele Gleichungen, als es Gruppen giebt. Ich 

 behaupte, dass dieselben zur Bestimmung der (von © unabhängigen) 

 / Unbekannten %S, vollständig ausreichen (vergl. Crelle's Journal 

 Bd. 10 1, S. 280). Man wähle aus jeder Classe von Substitutionen eine 

 aus, und nehme für © die Gruppe der Potenzen derselben. So er- 

 hält man l Gleichungen, aus denen man die / Unbekannten ^3, suc- 

 cessive ermitteln kann, falls man die Classen von Substitutionen in 

 der Weise anordnet, wie es in §1 festgesetzt worden ist. Denn in 

 der ersten dieser Gleichungen besteht © allein aus der identischen 

 Substitution E. Es kommt darin also nur die Unbekannte *p, mit 

 einem von Null verschiedenen Coefficienten vor. In der A kn Glei- 

 chung besteht © aus den Potenzen einer Substitution F der A ten Classe. 

 Sind /u/a, '"f, die Invarianten dieser Classe, so hat eine Potenz von 

 F entweder die nämlichen e Invarianten, oder sie hat mehr als e In- 

 varianten. In der betreffenden Gleichung hat daher ty x einen von Null 

 verschiedenen Coefficienten, und es kommen ausser ^3, nur solche Un- 

 bekannte S ^3 M , %\, ■ ■ ■ vor, deren Indices kleiner als A sind. Damit ist 

 die Behauptung dargethan, und es folgt aus dem System der Glei- 

 chungen (7.), dass tyjw) eine lineare Verbindung mehrerer Potenz- 

 reihen s $(w) ist, also ebenfalls in eine nach ganzen positiven Potenzen 

 von w fortschreitende convergente Reihe entwickelt werden kann. 

 Nennt man also den durch die Gleichung 



(8.) -2 #-'-* = !>, log (-M +£'(«•) 



bestimmten Coefficienten D, die Dichtigkeit der Primzahlen p,, so ist 



