696 Gesammtsitzung vom '25. Juni. 



lt. 



(9-) ". 



1, 



I. Ist q>(x) eine ganze ganzzahlige Function n m Grades, und sind 

 /u/as '"'./' beliebige positive ganze Zahlen, deren Summe gleich n ist, so 

 ist die Dichtigkeit der Primzahlmodulnj für welche tp(x) in ein Produet 

 von e Primfunctionen von den Graden /,./., •••./,' zerfällt; gleich der An- 

 zahl derjenigen Substitutionen der Gruppe von y(x)j welche aus e Cyklen von 

 fi>fs> •■•/ Elementen bestehen } dividirt durch, die Ordnung dieser Gruppe. 



Wenn also in der Gruppe von cp(.r) solche Substitutionen exi- 

 stiren, so giel>t es unzählig viele Primzahlen, die dieser Ciasse von 

 Substitutionen entsprechen. Wenn es aber in der Gruppe von y(x) 

 keine Substitution giebt, die aus e Cyklen von f , f 2 , ••• f e Elementen 

 besteht, so lässt sich zeigen, dass es nur eine endliche Anzahl von 

 Primzahlmoduln geben kann, in Bezug auf welche y(x) einem Pro- 

 duete von e Primfunctionen von den Graden f lt f„ •••/ congruent ist. 

 Indessen ist es im Hinblick auf diese Ergänzung des obigen Satzes 

 vorteilhafter, ihn so auszusprechen (vergl. Dkdekind , Über den Zu- 

 sammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der 

 höheren Congruenzen; Göttinger Abb. Bd. 23): 



II. Ist ein Körper n' en Grades gegeben und e positive ganze Zahlen 

 f\if%i "■/.• deren Summe gleich n ist, so ist die Dichtigkeit der rationalen 



Primzahlen, Kelche in e ideale Primfactoren von den Graden f, f. \, ■■■ f e 

 zerfallen j gemessen an der Dichtigkeit aller Primzahlen, gleich der Anzahl 

 diejenigen Substitutionen der Gruppe des Körpers j die aus e Cyklen von 

 j\ifii".f. Symbolen bestehen;, diridirt durch die Ordnung der ganzen 

 Gruppe. 



Die Dichtigkeit der Primzahlen, welche der A ten oder fj. u '" (lasse 



von Substitutionen entsprechen, ist offenbar Z) )l + .D, t = — 5 — -. Seif 



eine der Zahlen von bis n. Betrachtet man dann alle diejenigen 

 Classen, von deren Invarianten v und nicht mehr als v gleich 1 sind, 

 so erhält man den Satz: 



Hl. Die Dichtigkeit der Priutzahlinoduln. für /reiche eine Congruem 

 tp(.r) — genau v reelle Wurzeln hat, ist gleich der Anzahl der Substitutionen 

 der Gruppe ran cp(.r), welche genau v Symbole ungeändert lassen, diridirt 

 durch die Ordnung dieser Gruppe. 



* 3- 

 h-h hatte Dedekind gegenüber die Vermuthung geäussert, dass um- 

 gekehrt, wenn in einem Körper eine rationale Primzahl in e ideale Prim- 

 factoren von den Graden f lt f lt •■•f, zerfällt, auch seine Gruppe eine 



ul 



