Frobenius: Zur Theorie der Primideale. 697 



Substitution enthalten müsse, die aus e Cyklen von/^/ö, •••/' Sym- 

 bolen besteht. Enthält die Gruppe des Körpers keine solche Substi- 

 tution, so folgt aus dem Satze II nur, dass die Dichtigkeit der ent- 

 sprechenden Primzahlen ist. Damit wäre aber nicht ausgeschlossen, 

 dass solche Primzahlen in endlicher und sogar in unendlicher Anzahl 

 existirten. Für die Primzahlen, die nicht in der Discriminante des 

 Körpers aufgehen, ergiebt sich, wie mir Dedekind antwortete, der von 

 mir vermuthete Satz in der That aus seiner Theorie. Die bezügliche 

 Stelle seines Briefes vom S.Juni 1882, worin dieselben Bezeichnungen 

 benutzt sind, wie in dem Abriss von 1894, lautet so: 



Ist eine rationale Primzahl o'p = p[ p' 2 ■ ■ ■ p'. , wo p[ ,\\ ■■■ \\. ver- 

 schiedene Primideale in 0' von den Graden f[ , f 2 , ■ • ■ f r . sind; so giebt es in 

 der Gruppe * des Körpers 9.' eine Substitution \|/,, die aus e Cyklen von 

 /1 ,/,',-•• /'. Elementen besteht. 



Denn, wenn alle a r = 1 , mithin alle g r = g sind, so ist X ge- 

 meinschaftlicher Theiler aller q>,.<b'q>~ 1 und überhaupt aller mit $' con- 

 jugirten Gruppen qxfc'cfT 1 ; da diese aber, wenn wirklich* die Gruppe 

 von ß', d. h. il die Norm von O' ist, keinen gemeinsamen Theiler haben 1 , 

 so muss X=l, g = \ sein, d.h. p ist durch kein Primidealquadrat in 

 il tlieilbar. Dann ist 



^ = 1 + X^/r + Xb] f r + • • ■ + 1py-W r ^ 



WO \^ r = cp^ 1 4/ q> , und 



■fc'cp- 1 Y = *'<p _1 + "^'cp" 1 ^ + $'cp- l ip- + ■ ■ ■ + ^'cp-'d/^ -1 : 



ersetzt man in der Zerlegung 



* = <*>' 97 1 y + • • ■ + <*>' cp^ 1 y 



jeden einzelnen C'omplex <fe'cp;r 1 Y durch das vorstehende System der 

 f' r Complexe, so wird $ überhaupt in 



n ' =/[+/* + ■■• +.C 



Complexe 4>'cp zerlegt, deren jedem bekanntlich 2 eine Permutation von 

 12' (eine Wurzel der irreductibeln Gleichung vom Grade n) entspricht; 

 die Permutation -^o verwandelt dieselben in die Complexe * cp\^„ , bringt 

 also eine Permutation dieser n Complexe (Elemente) $'<p hervor, bei 

 welcher die in $97'* enthaltenen /.' Complexe (Elemente, Wurzeln) 

 cyklisch in einander übergehen. 



1 Vergl. C. Jordan, Tratte des substitutions , Nr. 382, und meine Arbeit Über 

 dlichi Gruppen, Süzungsber. 1895, S. 179. 



2 Über endliche Gruppen § 4. 



