Froeenius: Zur Theorie der Primideale. 699 



Sei $ die Gruppe der h Substitutionen, die den Körper il in die 

 h conjugirten Körper überführen. Wenn eine Zahl a> durch die 

 Substitution H der Gruppe £> in co' übergeht, so will ich o>' = u> H 

 setzen. Sind Zf , , H 2 , ■■• H h die Substitutionen von £, bilden u, , co 2 , • • • u> u 

 eine Basis der Art o , und ist o)'"' = (u>S) B , so sind die Coefficienten 

 der ganzen Function 



n*(w-MX B) -u a ü><" ) »4»1^) = «p(«.« 1 i " 2 ' ••• «*) 



rationale ganze Zahlen. In der Entwicklung von 



nach Potenzen von t^, « a , •■•« A sind ferner alle Coefficienten gleich 



Null. Man kann daher jeden einzelnen Coefficienten durch seine 



jt/ e Potenz ersetzen, und findet so, falls p die durch p theilbare 

 rationale Primzahl ist, 



qi(;<iOOi + • • • + Uh<a% , «! , u 2 , ■ ■ ■ «/■) = (mod. p) , 

 also / 



n (ih(<»'l - <4 a) ) + • • ■ + «4°°* - co *" ) )) = ° ( mod - W- 



Folglich muss einer der Factoren dieses Productes durch p theil- 

 bar sein, es muss also in der Gruppe £> eine Substitution F geben, 

 für welche 



oj? = (un) Fi U3,' = (ü)^, ... ü> A = (m^j, , 



mithin auch, wenn x l , x 2 , ••• x h rationale ganze Zahlen sind, 



(*i<>)i + • • • + Xh<öh) P = kiWi + • • • + ■V>,U>h) F 



ist. Auch sieht man leicht, dass es nicht mehr als eine derartige 

 Su Institution geben kann, wenn p nicht in der Grundzahl des Körpers 

 aufgellt. Da nun jede ganze Zahl oj der Art auf die Form 



gebracht werden kann, so giebt es in der Gruppe £ eine Substitu- 

 tion F der Art, dass jede Zahl w in o die Congruenz 

 (ii.) co'' = oip (mod. p) 



befriedigt. Die Substitution F und das Primideal p will ich einander 

 entsprechend nennen. 



Dieser Satz bildet die Grundlage der Eingangs erwähnten Arbeit 

 von Dedekind, Zur Theorie der Ideale. Er selbst hat ihn, wie er mir 

 am 14. Juni 1882 schrieb, aus der leicht zu beweisenden Existenz 

 einer ganzen Zahl 9 abgeleitet, welche, falls / der Grad von p ist, 

 (mod. p) einer irreductibeln Congruenz / ten Grades mit rationalen Coeffi- 

 cienten srenüs-t, und welche man zugleich so wählen kann, dass sie 



