i 00 Gesammtsitzung vom 25. Juni. 



nicht durch p, wohl aber durch jedes andere in p aufgehende Prim- 

 ideal thcilbar ist. 



Den obigen Beweis habe ich im November 1880 Stickelbergf.r 

 mitgetheilt. Das Princip, auf dem er beruht, die Benutzung von ganzen 

 Functionen mehrerer Variabein, hat Kronecker in der im Jahre 1882 

 erschienenen Festschrift Grundzüge einer arithmetischen Theorie der alge- 

 braischen Grössen zum Fundament der Idealtheorie gewählt. 



Ist p Ba = p a , so ist das Product der li mit p conjugirten Prim- 

 ideale 



p, p,.- : p h = N(p a )=pf. 



Ist h = ef, und geht p nicht in der Discriminante d des Körpers v. 

 auf, so sind von diesen h Idealen je / einander gleich, und wenn 

 etwa p, , p 2 ,••• p, verschieden sind, so ist 



(12.) op = pi fr ■••$.. 



Entspricht dem Primideal p die Substitution F, so entspricht dem 

 Primideal p a die Substitution H~ c l FH ir Den in p aufgehenden Prim- 

 idealen entsprechen daher die Substitutionen (10.), d. h. die sämmt- 

 lichen Substitutionen der Classe, welcher F angehört. Ich sage da- 

 her, diese Classe von Substitutionen der Gruppe § entspreche der 

 rationalen Primzahl p. Es handelt sich jetzt umgekehrt darum , wenn 

 eine Classe von Substitutionen gegeben ist, die Dichtigkeit der ent- 

 sprechenden Primzahlen zix bestimmen. 



§5- 

 Sei © eine Gruppe g 1 " Ordnung, ein Divisor von $, und £ eine 

 Zahl in 0, welche durch die Substitutionen von © und nur durch 



diese ungeändert bleibt. Geht P durch die — = n in Bezua- auf © 



h 9 



verschiedenen Substitutionen von .V) in £,,£»,••■ £„ über, so ist 



n (#-?„) = ¥ (<c) 



die irreductible Function mit rationalen Coefficienten , die für x = | 

 verschwindet. 



Sei p eine Primzahl, die weder in der Discriminante d' dieser 

 Function noch in d aufgeht, und p ein in p enthaltenes Primideal. Ist 

 Jf(a)=0 (modj)) für eine rationale ganze Zahl a, so ist [I(o— £„)=0(mod.£), 

 und folglich muss einer der Factoren dieses Productes durch p theil- 

 bar sein, und nur einer, weil d' , also auch %*—%, durch p nicht theil- 

 bar ist. Ist £,. a (mod. p), so ist £* = £„ (mod. p). Umgekehrt folgt 

 aus dieser Congruenz oder £„(£„ — 1)(£„— 2) ■•• (£„ — jp+ 1) — Oj dass £ 

 einer rationalen Zahl a (mod.))) congruent ist. und dass diese die Con- 



