Frobenius: Zur Theorie der Priinideale. 701 



gruenz ¥(a) = (mod. p) befriedigt. Die Anzahl der reellen Wurzeln 

 dieser Congruenz ist also gleich der Anzahl der Zahlen £, , £ 2 , • ■ • %„ , 

 die der Congruenz = £„(mod. p) genügen. Ist % Ha = £„ und 



n{ (*-£) = *(*), 



so ist 



(13.) *(*) = (*(*)/, 



und daher ist die Anzahl i/ p der reellen Wurzeln der Congruenz ${x) = 

 (mod. jj) gleich der Anzahl der Zahlen % x ,%,.,'•• % k , welche die Con- 

 gruenz £f = |« (mod. p) befriedigen. Ist F die dem Primideal p ent- 

 sprechende Substitution von £, so ist £# = £ H F (mod. p). Damit also 

 £b=%b sei, muss ^ f = ^ ff sein, und folglich müssen H a F und fl"„ 

 in Bezug auf ® einander gleich sein. Die Zahl v p giebt daher an , wie 

 viele der h Substitutionen 



//, F h; 1 , H,F i/.! 1 ,-H A F H7, 1 



der Gruppe © angehören. Ist F eine Substitution der A ttn Ciasse. so 

 stellt diese Reihe die sämmtlichen Substitutionen der A tcn Classe und 



jede -7- Mal dar. Giebt es also g } Substitutionen der A tc " Classe in ©, 

 so sind ff>-,- jener h Substitutionen in ($> enthalten, und folglich ist 



(14-) v p = 9>j:- 



Die Anzahl der irreductibeln Factoren von <£(.r) ist ferner nach 

 Formel (13.) gleich 



(15.) m=g = X[9*- 



}. 



Durchläuft p> alle rationalen Primzahlen, die der A"' n Classe von 

 Substitutionen entsprechen, so ergiebt sich daher aus den Formeln 

 (1.). (14.) und (15.) 



5' -fg, (Xp^ ) = (X[9>) log (-1) + sp( w ). 



Indem man hier für ® der Reihe nach alle cyklischen Unter- 

 gruppen von 5> setzt , erhält man eine Reihe von Gleichungen , die 

 alier nicht ausreichen, um schliessen zu können, dass 



(16.) xpi 1 -' = T los {h) + ^ ur) 



ist. Zu den Theilgleichungen, in welche jene Relation zerfällt, führt 

 folgende Überlegung: Ist r relativ prim zu/, so sind die Substitutionen 

 F und F' ähnlich im Sinne des § 1 , aber nicht nothwendig conjugirt 

 in Bezug auf .'ö. Sind sie nicht conjugirt, so gehören sie zwei ver- 



