14 QUELQUES REMARQUES SUR I.A SOLUTION 



Une formule générale ne fut trouvée non plus. Seulement M. 

 ScHOUTE trouva une relation entre quelques-uns des nombres 

 générateurs (voir Chapitre III), et moi je trouva d'autres relations 

 remarquables, mais la solution longuement aspirée ne se présenta pas. 



Hanté de ce problême, je tâcha plus tard à plusieurs reprises 

 de trouver une solution — mais toujours en vain. 



Néanmoins il me seinble utile de publier maintenant tout que 

 j'ai rassemblé sur ce sujet durant de longues années, afin que 

 tous ces calculs laborieux, et toutes ces relations parfois très remar- 

 quables ne soient pas tout-â-fait perdues. 



Peut-être un autre — élucidé par les pages suivantes — trouvera 

 plus tard la solution complète du problème. 



Comme on le voit facilement, le problème se réduit algébrique- 

 ment au suivant: 



Trouver le nombre des permutatio7is mutuelles de n nombres, depuis 

 1 jusqu'à n, lorsque le 1 reste toujours sur la première place, et 

 lorsque tous les entrecroisements des groupes 12, 34, 56, 78 ... . et 

 également des groupes 23, 45, 67 ... . sont exclus. 



Une suite comme 13 5 4 6 2 sera donc exclue, puisque 56 donne 



un croisement avec 34; de même 1 3 4 '2 5 6, parceque 23 est 



croisé par 45; etc. 



En effet, les jonctions 12, 34, etc. se trouvent toujours, chez 

 une figuration quelconque, au même côté, à gauche ou à droite ; 

 tandis que les jonctions 23, 45, etc. se trouveront toutes au côté 

 opposé. Et les jonctions, situées à un même côté, évidemment ne 

 pourront pas s'entrecroiser, une figuration comme 



n'étant pas possible. 



Partant de ce principe, que des entrecroisements des groupes 

 12, 34, etc., ou des groupes 23, 45, etc., ne soient pas tolérés 

 j'ai pu construire facilement les tableaux suivants. Par exemple, 



