COURBICS QUI KN DÉRIVENT. 167 



pourquoi quelques considérations sur ces normales en précéderont 

 la discussion. 



4. D'après un théorème bien connu, les pieds des normales 

 abaissées d'un point. sur une ellipse passent par les points d'inter- 

 section de l'ellipse avec l'hyperbole d'Apollonius par rapport à 

 ce point En choisissant comme point de concours de ces noi"- 

 males l'extrémité du petit axe, on verra que l'hyperbole 

 d'Apollonius dégénérera en deux droites, savoir le petit axe et 

 une perpendiculaire à cet axe. Le petit axe représente deux 

 normales coïncidentes, les deux autres se déterminent par les 

 pohits d'intersection de la perpendiculaire et de l'ellipse. Exami- 

 nons les conditions de réalité de ces points. 



Soit l'équation de l'ellipse 



— 4- "- — 1 • 



et les coordonnées d'un point arbitraire {xi,y^). 

 L'équation de l'hyperbole d'Apollonius est 



c- xy + ^'-y \ x — a-x^ y = 0. 



Pour l'extrémité du petit axe on a .r, =0, */j =• — 6; il s'ensuit: 



xy — b'^ x = ou x = 0, y = 



c- 



b^ 



La dernière droite coupera l'ellipse si -^ < 6, condition équiva- 

 lente à a^ > 2b-. 



La longueur p des deux normales distinctes issues du sommet 

 se calcule facilement comme celle du rayon du cercle bitangent 

 à l'ellipse à centre 0. Choisissons, à cet eff'et, comme axes des 

 coordonnées, le petit axe et la tangente à l'extrémité du petit 

 axe. L'équation du cercle bitangent aura la forme 



b-x- + a-y~ — 2a- by -*- A (2/ — q)- =: 0, 

 où À = — (a- — b~) = — c- et — 2a- 6 -f- 2c- g = ; d'où, enfin, 



a-b , a- 



Remarque. Ce résultat est susceptible d'une représentation géo- 

 métrique. Supposons la développée de l'ellipse construite; cette 

 courbe possède, comme on le sait, deux couples de points de 

 rebroussement réels dont chaque couple se trouve sur un axe 



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