170 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES 



perpendiculaire OA ^ et mène la normale ^,iV, à l'ellipse en J. j ; 

 cette di'oite coupera d en Z),, correspondant à Z)/. On en déduit 

 qu'à chaque point jD/ correspond un seul point Dj. 



Quand un des points D coincide avec un des points D', ce 

 point appartient à la base. Il s'ensuit: 



Les points D et D' engendrent sur la droite d une correspon- 

 dance (1.4); il y a donc cinq points coïncidents; la base est du 

 cinquième degré. 



Il est, cependant, à remarquer que le petit axe appartient à la 

 base. En effet, soit Di, le point d'intersection de d et du petit 

 axe; des quatre normales issues de D^ deux coincident dans le 

 petit axe ; est un des pieds de ces deux normales ; le rayon 

 correspondant OA,, est la tangente en et la perpendiculaire 

 coïncide avec le petit axe; ainsi un des points D;,' coïncide avec 

 D,,. Cette vérité subsiste pour chaque position de la droite d. La 

 base est ainsi une courbe du quatrième degré. Le pôle passera 

 quatre fois par le point 0, savoir pour les normales de l'ellipse 

 issues de 0; comme un de ces points appartient au petit axe 

 qui fait partie de la base, la courbe biquadratique aura un point 

 triple en 0. 



7 La construction des tangentes à ce point triple s'effectue 

 facilement. Reprenons la figure 2 ; prolongeons la droite OP de 

 l'autre côté de P et portons y la longueur PO' =^ PO; 0' sera un 

 point du cercle d'inflexion et PO' en sera une corde. Pour le 

 point triple P coincide avec 0; la droite OP est donc une 

 tangente du cercle d'inflexion et par conséquent de la base. 

 Il s'ensuit: 



Les perpendiculaires au petit axe et aux deux normales distinctes 

 issues de sont les tangentes au point triple de la base. Quand 

 a^ > 26^, les tangentes sont toutes trois réelles, quand a^ < 26^^ 

 deux des tangentes sont imaginaires. 



La tangente à un point arbitraire se détermine par la méthode 

 de Bobillier. Supposons encore le pôle P construit d'après la 

 méthode précédente, (Fig. 3), et construisons le centre de courbure 

 des trajectoires de deux points du système. Soit un de ces points, 

 A, situé sur l'ellipse; construisons la tangente en A qui coupe le 

 grand axe en B; soit B le point d'intersection de la normale en A 

 avec le grand axe et C' celui de BN avec la parallèle B' G' au 

 petit axe. Le centre de courbure C s'obtient comme point d'inter- 

 section de AN avec la perpendiculaire uienée de G' à AN. Choisis- 



