172 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES 



Faisons maintenant tourner le rayon à partir du petit axe et 

 nous verrons sans peine que, tant que le rayon vecteur n'est pas 

 devenu tangent à la développée, la normale est située à l'extérieur 

 de l'angle formé par ce rayon et le petit axe et, par conséquent, 

 le pôle P à l'extérieur de l'ellipse. Pour la tangente à la déve- 

 loppée la normale de l'ellipse et le rayon vecteur OA coïncident, 

 et, quand ce rayon poursuit son mouvement, la normale est située 

 à l'intérieur de l'angle en question et de même le point P. Il 

 s'ensuit: 



Quand a^ > 2b-, le pôle P peut être situé aussi bien à l'inté- 

 rieur qu'à l'extérieur de l'ellipse; le point triple ayant trois 

 tangentes réelles, la base aura la forme d'un trifolium (Fig. 4). 



On peut déduire des considérations précédentes la forme de la 

 base pour a^ < 26- ; en ce cas la normale est toujours située dans 

 l'angle formé par le i-ayon OA et le petit axe; tous les points 

 de la base se trouvent à l'intérieur de l'ellipse, ou bien, s'ils se 

 trouvent à l'extérieur, c'est dans le voisinage du sommet opposé 

 à 0. La forme de la base est celle d'un ovale (Fig. 5). 



Quand a'^ =:26^, la forme de la base ressemble à celle du cas 

 précédent. Mais le caractère du point triple est tout-à-fait différent. 

 Tandis que, pour a^ < 26- ce point était composé d'un point 

 crunodal et de deux points isolés, il se compose maintenant d'un 

 point crunodal et de deux points de rebroussement. 



9. L'analyse ne fait que confirmer les résultats géométriques 

 obtenus. L'équation de la base s'obtient de la manière suivante: 



Soit, comme auparavant, l'ellipse rapportée à des axes, con- 

 sistant en la tangente au point et le petit axe (Fig. 2). Son 

 équation est 



b'^x^ + a^2/^ "~ 2a''by =: 0. 



L'équation du rayon OA étant 



y = mx, 



les coordonnées du point .4 seront 



2a-6m 2a-bm'^ 



a^m- + b^ ' ^ ~ a^m^ ■+■ b-' 



L'équation de la normale au point (a;,, //j) est 



y — y, =— dy^ {x—x,),on bien y-y,= -^4" i^—^i)- 



