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Pour le point A cette équation devient, après quelques réductions, 



2a-bm' a-m'^ — 6^ / 2a^b'in \ 



^ a-m- + b- ~ 2b'^m V a^m^+b-J 



ou bien 



a^m^ — 62 _ gz j(252 — a^)m- + fc ^j 

 2b'^m ' "~ b{a^7ïi^ + b'^) 



L'équation de la droite OP est 



1 



L'élimination de m nous fait obtenir l'équation 



a^x'^ - b'^y^ a^ (26^ — a-)x'^ + b^y'^ 



^ 2b^xy b a^x'^ + b-y^ 



qui devient, après les réductions, 



(II) .... (a'-x^ + b'-y'-y = 2ci262/ j(262 __ a^)x'~ + fe^^/^j. 



Cette équation permet d'obtenir les résultats précédents. Qu'il 

 suffise d'en donner deux exemples. Posant a; = 0, nous voyons que 



b^y" =2a^b^y^, d'où 

 2/3=0, y=~Y- 



L'origine est donc un point triple et la base coupe l'axe des 

 y en un point situé au dessus du sommet supérieur de l'ellipse; 

 ce dernier point est réel quel que soit le rapport des grandeurs a 

 et b. Examinons en second lieu la réalité des tangentes. 



Posons y = mx et substituons; nous obtiendrons: 



(a2 + b^m-)'^ x'> =2a'-bmx^ {2b" — a^ +m'^b^); 

 pour une tangente m = 0, 2b^ — a^ + m^b'^ = 0, 



i/a2_2f)2 

 ^=± b • 



Ainsi on voit qu'il y a trois tangentes réelles, ou une seule 

 tangente réelle, selon que a- > 26^ ou a^ < 2b'^. Quand a- ='2b', 

 les trois tangentes coïncident dans l'axe des x, ce qui s'accorde 

 avec les considéi-ations géométriques. 



10. Le mouvement est complètement déterminé quand on cou- 

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