174 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES 



nait la base et la roulante ; déterminons donc cette dernière 

 courbe qui, elle aussi, est indépendante de la grandeur l. 



A cet effet, reprenons la figure 2 et concevons qu'on inprime 

 au triangle rectangle AOP une rotation telle que la droite OA 

 coïncide avec l'axe OX et ensuite une translation le long de cet 

 axe, qui fait coïncider le point A avec l'origine 0. OA coïncidant 

 avec OX étant la position initiale, les points A.^ ^ O, Oy,P^ 

 déterminent le mouvement rétrograde du triangle AOP, qui lui 

 fait reprendre cette position initiale. Pj est donc un point de la 

 roulante et ses coordonnées sont A^O^ et O^Pi. Il s'agit donc, 

 pour obtenir l'équation de la roulante, de calculer ces coordonnées. 

 Comme on le voit, la construction géométrique de la roulante 

 n'offre pas de difficultés ; le calcul de l'équation, quoique le 

 principe soit de même assez simple, mène à quelques complica- 

 tions. La figure 4 donne la forme de la base et de la roulante 

 pour le cas a- > 26^, la figure 5 représente les mêmes formes 

 quand a^ <2ö^. Il serait superflu d'y ajouter le cas a~=:2h'^, 

 puisque les formes qui s'y présentent ne different pas sensiblement 

 de celles de a^ < 26^ (comparez § 8). 



11. La figure 4 montre que la roulante possède des points 

 singuliers; on détermine leur nature à l'aide de l'équation de 

 la courbe; à cet effet, calculons les côtés OP et OA (Fig. 2) du 

 triangle rectangle AOP. 



L'équation de l'ellipse étant, comme auparavant, 



h'^x'^ + a'^y^ — 2a'^by = 0, 



et celle de la droite OA 



y r= mx, 



on a 



_/ 2a^bm V / 2a^bm' \^ _ 'ia''b^m^(l -i- m^) 

 \a^m'^ + bw \a^m^ + 6v ~ {a'^m'^ + b^)^ ' 



l'équation de AP est (I) 



a-m^ — 6^ a~\{2b- — a^) m^ + b^\ 



^ 2Pm ^ "" b{a'^m'^ + 6^) 



et celle de OP 



1 



-w = X. 



^ m 



