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lesquels on porte les longueurs AB^ =AB, = l, on voit que les 

 cordes croissent indéfiniment à partir de Taxe réel, ce qui fait 

 que l'on n'aura que trois cas à considérer : l > 2b, l < 2b, l = 2b, 

 2b étant la longueur de l'axe réel. Enfin, on peut attacher moins 

 d'importance à la division en groupes, mise en avant dans la pre- 

 mière partie de cette étude. Le cas particulier qui mérite d'être 

 étudié est celui de l'hyperbole équilatêre. 



23. Examinons d'abord la base. Comme les cordes passant par 

 n'admettent pas de longueur maximum, comme c'était le cas 

 de l'ellipse, le point triple a une tangente réelle et deux tan- 

 gentes imaginaires conjuguées. On voit ensuite, facilement, que la 

 base aura des points à l'infini. En effet, menons par la parallèle 

 à une des asymptotes de l'hyperbole; la normale correspondante 

 sera la di'oite à l'infini et la perpendiculaire à la direction de 

 l'asymptote indiquera la direction d'un point à l'infini de la base. 



Reprenons l'équation de la base comme elle a été obtenue (9) 



{a'^x^ 4- b^y^)^ = 2a2 by \ {2b^ -~a^)x^ + y-y-\. 



On en déduit l'équation de la base, pour le cas de l'hyperbole, 

 de la manière suivante: 



Qu'on s'imagine l'hyperbole tellement placée que l'axe OX soit 

 tangente en à un sommet de l'hyperbole et que l'axe imaginaire 

 soit représenté par l'équation y — + h. L'équation de l'hyperbole 

 devient. 



f)2 ^2 — a'^ y'^ + 2a- by = 



Ainsi, on obtiendra les résultats équivalents à ceux de l'ellipse, 

 en remplaçant a^ par — a-, ce qui donne, pour l'équation de la base: 



(VI) {b^ 2/2 _ a2 a;2)2 = _ -Za^ by | (a^ + 2b^) x'- ^ b'^ y'- \ 



Les termes du quatrième degré appartiennent exclusivement au 

 premier membre; les quatre points d'intersection avec la droite à 

 l'infini sont donc donnés par l'équation 



{b'~ y^ — a^ x^)^ =0 



ce qui montre que la droite à l'infini est une tangente double de 

 la base; les perpendiculaires aux asymptotes de l'hyperbole don- 

 nent la direction des points de contact. 



24. Après cette remarque, il n'est pas difficile de discuter les 

 propriétés de la roulante, dont on obtient de même l'équation en 

 remplaçant a- par — a'-. La figure 15 donne la forme de la base 



