COURÜKS QUI RN DICIUVENT. 193 



l'une est positive, l'autre négative, ce qui donne deux tangentes 

 réelles et deux imaginaires. 



L'équation d'une asymptote est 



Substituons cette valeur dans l'équation de la conchoide, nous 

 obtiendrons 



a» bHx~ + -, x^ +— X 'i- lï' )= a'- Ij'^ l- {2x + a)^ 

 \ a^ a / 



et nous voyons que l'asymptote a seulement deux points d'inter- 

 section avec la courbe et que quatre points se trouvent à l'infini, 

 comme on devait s'y attendre 



27. Remarquons enfin que, si l'hyperbole est équilatère, la con- 

 struction de la courbe n'offre pas de particularités, qui exigent 

 une discussion spéciale. Les équations de toutes les courbes décrites 

 se simplifient. Nous nous bornerons à donner celle de la roulante. 

 On l'obtient en remplaçant dans l'équation connue (III) a- par 

 — a- et 6- par a'-. Elle devient, après la suppression des facteurs 

 superflus: 



(IX) \{x^—4a'){y' - 8x' — 4a') — x'~ y^' =4|(a;2 +2a^)y^~ — 



— («2 _4a2) (2/2 + 4x- + 2a2)j + 



+ ]x' (2/2 + 4a;2 + 2a2) _ [x^ + 2a'~) (y' — Sx'- — 4a2)j 



équation qui se simplifie encore par le développement mais que 

 nous préférons conserver dans cette forme. 



Les constructions décrites suffiront pour comparer la conchoide 

 de l'hyperbole à celle de l'ellipse. 



28. Appliquons maintenant les considérations précédentes à la 

 parabole. Comme auparavant, il est inutile de répéter toutes les 

 constructions de l'ellipse; remarquons cependant que les propriétés 

 de la parabole diffèrent essentiellement de celles de l'ellipse et de 

 celles de l'hyperbole et que la forme de l'équation permet d'obtenir 

 des formules simples pour les diverses courbes. 



29. Les courbes qui ne dépendent pas de la longueur l s'obtien- 

 nent sans peine. Soit le sommet de la parabole et en même 

 temps le point de concours des droites OA,, OA^ etc., où la sig- 



