196 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES 



La roulante est symétrique par rapport aux axes OX et OY, 

 possède un point isolé à l'origine et deux points isolés conjugués 

 imaginaires sur l'axe OX. La courbe consiste en deux branches 

 qui s'étendent à l'infini ; une des deux moitiés s'accorde avec le 

 mouvement dans un sens donné, l'autre avec le mouvement en 

 sens inverse. La droite à l'infini coupe la roulante en six points 

 coincidents. (Fig. 20.) 



3L Comme la base est du troisième degré, on peut laisser de 

 côté la recherche de la courbe bitangentielle, pour discuter immédia- 

 tement la forme de la conchoide parabolique (fig. 21). On voit 

 tout de suite que, quand on porte sur la droite mobile OA deux 

 points -B, et B^ tels que la distance AB ^ =: AB^ devienne 

 égale à l, il en résulte une courbe à deux branches qui se croisent 

 au point et forment par conséquent un point crunodal; elles 

 convergent vers le même point à l'infini que la parabole et les 

 particularités de la courbe sont visiblement indépendantes du 

 rapport entre les longueurs l et p. 



Pn arrive facilement à l'équation de la courbe de la manière 

 suivante : 



Soit l'équation de la parabole 



2/ 2 =r 2'px. 



La longueur 05, ou Oß, est donnée par la formule: 



2]) cos cp 

 ^ s%n^ cp 



où cp est l'angle de OA avec l'axe de la parabole. 



Cette formule est en même temps l'équation de la courbe en 

 coordonnées polaires. Transformée en coordonnées orthogonales, 

 elle devient: 



2'px I/a;2 + y^ 



V^x^ + -yä —-J:- ^ ± l 



qui devient, après la disparition des radicaux, 

 {y^~-2j>xf{x^+y^)^l^y'^. 

 Cherchons les tangentes au point 0. 



(m^ x"^ — 2pxf (.t2 + m- x-) = l"^ m** a;* 

 (m^ x — 2py (1 + m-) = V~ mV 



