236 SURFACRS ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



^ (w 1) (71 + 2) in + 3) g {n — q + ]) 



(71'^ + nq — 2q- -i- ^m. + q + Q) = ^ q {q + 1) (3% — 2q + 5). 



Par conséquent, pour imie Rurface de Vordre n, la condition de 

 renfennrr une droite dminêe, d'ordre q. cq^dvaut à la condition de 



passer par -g g (7 + 1) (3?!, — 2g -h 5) foints. 



§ 2. Supposons qu'une surface Ä'^'"^', de l'ordre (u + ;' + 1), 

 contienne la droite m, d'ordre /<, et la droite n, d'ordre y. 



Il est clair qu'on peut la faire passer encore par un nombre 

 de points égal à 



-g- (/. + /■ + 2) (,« + r + 3) (,« + r + 4) -- 1 — g /. (,u + ]) (/. + 3/' + 8) 

 — -g-/' (/■ + 1) (3/. + r H- 8) = L>.«r 4- 3/< + 3r + 3. 



Pour /■ = /(, ce nombre se réduit à 



%i' + 6/. + 3 = (u + 1) (2,.. + 2) + (2/< + I). 



Il en résulte qu'une surface S''' "'"' peut renfermer deux droites 

 d'ordre ,« et (/( + 1) droites arbitraires. 



Au lieu de ces droites simples on peut prendre (/( + 2) droites 

 arbitraires à condition que deux d'entre elles se coupent. 



Ou bien on peut faire passer la S"'^^ par deux droites ,«'''"' et 

 {a + 2) di'oites qui forment un (/i + 2)-latère gauche. 



Si l'on a ;■ = <« - 1, on peut encore prendre arbitraii'ement 

 ,« (2u + 4) — (2.« + 1) (,a + 1) + (,« — 1) points; donc, la surface aS"'' 

 peut renfermer, outre les droites multiples, (,u + 1) droites simples. 



De même on trouve qu'une surface S'" ~ ' possédant une droite 

 /('" et une droite (/< — 2)^*^ peut passer par ,« droites arbitraires. 



En général, la surface S" + ' "'"^ peut, si /( > /■, renfermer au moins 

 (/' + 2) droites simples. 



En eftet, on a 



2 ,a I' -h 3 (,<( + i' + 1) = (/' + 2) (," + ;- 4- 2) + (,u !• + ,<( — !■• — !• — 1), 



et le nombre /« i' + ,i( — c- — r — 1 est positif pour /( > /■. 



Remarquons que S" ^ ^ peut contenir un nombre de droites 

 qui surpasse ('■ + 2) 



