UN NOMBRE FINI DE DROITES. 237 



Par exemple, elle niufernieni [i' + 3) droites si l'on a 

 i-t f — II- — 2i' — 3 > U, ou bien ,u — i' > 3 



§ 3. Revenons à l'équation 



(\\x\. représente une surface S" avec la droite ç'" ()Z. 



Supposons que l'axe Y soit une droite d'ordre r située sur 

 S", r étant < 5'. 



Alors la substitution 2 = U doit fournir une équation tie la 

 forme xf{x,y)-=0. Il en suit que les termes a;'" 2/' ' ' » 

 ■'' '^y ''^^ .... »y'"', y^' {p^= q,q + ^, ■ ■ ■ «— 1, m) manque- 

 ront; or, le noml)re de ces termes est égal à r {71 — q 4- 1). 



En posant x = U, l'éc^uation doit se réduire à la forme 



y' 2' 'p (y, ^) ~ 0- 



Par conséquent, il faut encore suppiimer les termes où figurent 



2/""' 2, 



y'"'z\ y"~"z\ y"~'''z, 



n-,+1 )— 1 /t-r+1 r-'i «->■+! 



2/ 2,2/ 2, y ', 



y"'~''z~\ y""'z"-, 2/""'z, 



n-r-l r-1 n -r-1 r-e n-i-l 



y - , y 2 , y ^^ 



y z , y z , 2/2- 



Le nombre de ces termes est égal à 



1 + 2 + 3 -h . . . + (r - 2) 1- (n — g - r + 2) (r — 1). 

 En somme, le nombre des termes de l'équation est diminué de 



Y (î" — 1) (r — 2) + (7i — ç — r -t- 2) (r — 1) + r (7i — g -H 1) = 



(71 — g + l)(2r— 1) - ,yr{r - 1). 



Donc, rwie surface S" renfermant une droite d'ordre q et une droite 

 d'ordre r qui se rencontrent, peut passer encore par un nombre de 

 points défini par 



~Q ("' ~ 3 "*" 1) ('^" + «2 — -?■ + ^n + q— Vir + 1 2) + — (r — 2) (/• + 1). 



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