238 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFEUMANT 



En particulier, si l'on a q + r = n, ce nombre est égal à 

 -^ (r + 1) (3gr + r- + 6g — 4r ■+■ 6). 



§ 4. Supposons maintenant que, de plus, l'axe OX soit une 

 droite multiple d'ordre s, s<r<g. 



Alors le premier membre de l'équation doit être divisible par 

 x' II", si l'on pose s = 0. Donc, les polynômes A^ ne contiendront 

 que les termes 



X y , X il , X !i , . . . . [AJ 



71— S— 1 S '■ n-r-1 / ,4 " \ 



X U , X il , (A^^_j) 



- / (O 



Les polynômes ^','.^j,_j, ... A'' manqueront. 



Les substitutions a; = et // = doivent réduire l'équation respec- 

 tivement à il'' z ip (il, 2) = et à x' z" / (x, z) = 0. Par conséquent, 

 les termes suivants disparaîtront: 



n— 1 rt— 2 '/ _ 



X Z , X z , X z, 



n-'2 2 n-3 2 î 2 



X Z , X z , X z , 



.■l «^'-l . 



f-'z, f-'z , ii'z, 



ij"''"" z' , il'' z', 



H-/+1 1-1 7 /-l 



,'/ 2 • >J ^ ■ 



Le nombre des termes de l'équation 



est diminué de 



(71 — r — S + 2) (r + s) + -^(;r + s + q){r + s — q — l) -1- 



+ 4(-^-l) (2n- 2g — s + 2) + ^ (r - 1) (2n — 2g- r + 2). 



Pa?- sttiie, une surface S" renfermant trois droites multijiles de 

 l'ordre g, r, s qui ont un ■point en commun, peut passer par un 

 'iio)nhre de points arbitraires, donné par Vexpressi.on 



