240 SURFACES Al.GKBlîlQUKS RENFERMANT 



§ 6. iSupposons qu'une surface S" soit douée de deux points 

 multiples d'ordre {71 1), et Q. Prenons un tétraèdre de réfé- 

 rence dont deux sommets coïncident avec et Q. Alors Ä" est 

 représentée par une équation de la forme 



^„ (x, y) + 5^_^ (a;, y) z 4- C _, (x, y) w + D„_ ., (x, y) zw = Ü. 



Il en résulte que la droite OQ {x = 0, ij = 0} est une droite 

 multiple d'ordre {n — 2), de sorte que tout plan mené par OQ 

 contient une conique située sur S'\ 



En considérant S" comme un monoïde dont est le point 

 multiple, on trouve que les droites a qui se croisent en 0, sont 

 définies par les deux relations 



/!„ {x, y) + i>',, ^ {x, y) z = 0, 

 C, , (X, y) + X»,, ._, (X, y) z = 0, 

 ou par 



'■'L {^, y) -0„_, {x, y) = />',_i {x, y) 6;_ j {■»; y). 



La symmetrie de cette équation montre que chacun des {2n — 2) 

 plans déterminés par elle, contient encore une droite qui j^asse 

 par le point Q. 



Outre ces (2n — 2) coniques dégénérées, la surface renferme encore 

 (n — 2) couples de droites dont l'une coïncide avec la droite OQ. 



§ 7. Puisque l'équation de S" contient (4n - 1) paramètres 

 arbitraires, il semble que pour w > 3 la surface peut être menée 

 par trois droites arbitraires c^,g.,,c.^. Elle serait alors le lieu des 

 coniques tracées par et Q qui s'appuient sur Cj. 02,03. 



Or, ce lieu est une sui'face du quatrième degré. En effet, les 

 deux transversales des droites OQ, c^,c.,, c^ constituent avec OQ 

 deux coniques dégénérées, de sorte que OQ est une droite double ; 

 par suite, tout plan mené par OQ donne une intersection du 

 quatrième degré, et 0, Q sont des points triples. 



Il en résulte qu'une surface S" à deux points {n - l)*"^ Q, Q, 

 passant par c,, 03,03, se composera d'une S"* et de (« —4) plans 

 ayant en cominun la droite OQ. 



Observons que cette surface »S"* doit dégénérer en un plan et 

 une S'-^, si les droites c, et o, ont un point en commun; en effet, 

 le plan mené par ce point et par la droite OQ, contient alors un 

 faisceau de coniques qui vérifient les conditions. 



