UN NOMBliE FINI DE DROITES. 241 



§ <S. Considérons maintenant une surface >S" aux points (îi l)'"''''*' 

 et Q, contenant les droites arbitraires c, et c.,. 



L'hyjjerboloïcio défini par les droites OQ, c^ et c^ marque sur S" 

 un groupe de n droites, parmi lesquelles Sje trouvent les transver- 

 sales «1 , (>t ?>,.,, de c, t c, menées par et Q. 



Les plans (0, cj et (0, c^) ont en commun avec »S", outi-e la 

 droite a^.-,, deux groupes de {n - '2) droites a' et a". 



De rûême, les plans (Q, c,) et (0, Cj) marquent sur la surface 

 respectivement {n — 2) droites b' et {n — '2) droites 6". 



Tandis que chaque droite a' rencontre une droite b" , et (jue 

 chaque droite a" s'appuie sur une droite //, les droites a^, et hy., 

 sont coupées respectivement par une droite 6^, menée par Q et 

 par une droite «g contenant le point 0. En résumé, la surface 

 renferme (3n -- 4) couples de droites. 



§ 9. Supposons maintenant qu'une surface S" admette le point 

 {n - 1)'" et la droite {n — 2)''''' OZ. Alors elle peut être définie 

 par une équation de la forme 



A,, {x,7j) + B, , (x, y) z + C„ 1 {x, y) +- /)„_,, {x,y)z'' +- E„ _, {x,y)z- 0. 



Les droites que ce monoïde renferme encore, sont déterminées 

 par les relations 



^,, + 5, ^ z + X>„_2s2 = et C,,_, + E^^^., z = 0, 



ou bien par l'équation 



A E'\— B f: E ,+ D , c' = 0, 



n n~l 71-1 )i-l H --2 n--2 ii 1 ' 



qui montrr que le nombre des droites, issues de 0, est égal à 

 (3» -4). 



Puisque l'équation de la surface contient (Sri — 2) paramètres 

 arbitraires, il semble que S" . pour n > 5. peut être menée encore 

 par quatre droites c^, 0^,0-^,0^. 



Or, cette surface se composera d'une S''"' et d'un groupe de plans 

 ayant en commun la droite multiple l. 



En effet, considérons le lieu des coniques situées dans les plans 

 menés par l, tracées par et rencontrées par les droites c^,g^,c.^,c^. 



Supposons que la droite c^ s'appuie sur /; alors le plan [Ic^) 

 renferme un faisceau de coniques tracées par et s'appuyant sur 

 Cy,c.,,c-y Comme chacune de ces coniques coupe deux fois la 

 droite c^, le plan (/cj appartient deux fois au lieu. 



