242 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



En écartant ce plan double, on retrouve la surface S'' aux 

 points triples et (i, c J. 



Il en résulte que le lieu cherché est une surface S^ à droite 

 quadriiple l et au point quintuple 0. 



§ 10. Considérons une surface S" au point (n — 1)'" O et à la 

 droite {n — 2)''''' l, renfermant les droites arbitraires g^,c.,_^,c.^. 



Parmi les droites situées sur S" se trouve la transversale a^^ 

 de c, et Co, menée par 0; de môme les transversales a^o et a^a des 

 couples Cj, Cj et Cj, c., appartiennent à S'\ 



Le plan {Oc^) marque encore {n — 3) droites a'; de même, les 

 plans (Ocj) et {Oc-,) contiennent respectivement {n — 3) droites 

 a" et {ii — 3) droites a" . 



En somme, nous avons signalé 3 -i- 3 (w — 3) = {^in ■- 6) droites 

 par 0, tandis que le calcul antérieur a fourni le nombre {Sn — 4). 

 Les deux droites restantes se trouvent visiblement dans les plans 

 qui unissent la droite l aux deux transversales du quadruple 



Il va sans dire que chaque plan qui réunit la droite l à une 

 droite a marque sur a" une droite simple h. 



Surfaces particulières avec une droite multiple. 



§ 11. Soient données la droite l et l7i{n-t'3) droites arbi- 

 traires C/.. 



Cherchons l'ordre de la surface formée par les courbes planes 

 C" du n""^ degré, situées dans les plans menés par l et s'appuyant 

 sur les droites c. 



Cela revient à déterminer le nombi'e f {71) de courbes C" ren- 

 contrées par ?7 {n + 1) (n + 2) droites arbitraires c. 



D'après le principe de la conservation du nombre, il suffit de 

 considérer le cas spécial où (n + 1) des droites Ci,{k-= 1,2, 3, . . . 

 n + 1) s'appuient sur l'axe l. 



Il est clair que le plan mené par / et une de ces droites c, 

 renferme une courbe C" qui rencontre c, en n points, tandis 

 qu'elle coupe les autres droites c une fois ; elle remplace donc n 

 courbes satisfaisant aux conditions. 



Toute courlje 6'" qui rencontre les droites «,,(■., ,...c sur 



