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l'axe I, se décompose en I et une courbe C"~ «'appuyant sur les 

 droites c (j) = 11. + 2, n + 'Ó, . . . . i (w + l) (n + 2)). La nombre 

 de ces courbes est représenté par ƒ (w — 1 ). 

 Par suite on a la relation 



_/• (n) = n {n + 1 ) +- ƒ (w — 4 ). 

 De même, on aura 



f{n-l) = {n-l)n+f{n-2), 



ƒ (2) =2,3 +/(1). 



Puisque ƒ (1) désigne le nombre de droites s'appuyant sur quatre 

 droites l,Cf,Cr^,G^, on arrive à l'équation 



ƒ («) — n.2 + n.,.4: + n-^ .2 = ^n[n+ ^-) {n + 2). 



Par conséquent, on a le théorème: 



Le lieu des courbes planes chi n"" ordre dont les plans apparlien- 

 nent à un faisceau, et qui s'appuient sur ^n{n + 3) droites arbitraires, 

 est xiue surface de l'ordre | n (n + 1) {01 + 2), ayant pour droite 

 multiple d'ordre ^ n (n- + Sn — 1) l'axe du faisceau. 



Convenons de nommer ce lieu une surface axiale. 



En observant que la correspondance entre les intersections des 

 courbes avec l'axe possède ^n{n — l)(n^ + 3n — 1) coïncidences, 

 on peut énoncer le théorème: 



La surface engendrée par une courbe plane du n"'' ordre s^appuyant 

 sur ln{n + S) — 1 droites et en touchant une autre droite est de 

 Vordre 5 n {n — 1) (n- -H 3n — 1). 



§ 12. En particulier, on a, pour w = 2, 



Les coniques qui coupent deux fois la droite donnée l et s'appuient 

 sur les cinq droites arbitraires Cj, c,, c^, c^, c^, forment une surface 

 axiale du huitième ordre, avec la droite sextuple l. 



Cette surface renferme les transversales a^^^^^ et b^^^^ des quatre 

 droites c^., c^, c^^^ et l. Les plans qui unissent ces transversales à 

 l'axe l marquent sur S^ respectivement deux droites que nous 

 désignerons par b et a . 



Il est clair que la surface contient dix couples de droites 

 Km' Kp) et dix couples de droites (6,,,,,, a ). •) 



') Je viens de voir que cette surface a été étudiée par M. Stuyvaert, dans 

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