244 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



§ 13. La surface axiale de l'ordre f{n) que nous venons de 

 définir, se décomposera si une des directrices, c^, rencontre l'axe l. 

 Car alors le plan (c,Z) est coupé par les autres directrices en 

 ^n {n + S) — 1 points, et chaque C" tracée par ces points, repré- 

 sente n courbes du lieu, parce qu'elle rencontre n fois la droite 

 c^. Par suite, le plan (G^l) appartient n fois au lieu. 



On en déduit le théorème suivant. 



Les cothrhes planes du n"" degré, situées dans les plans d'un fais- 

 ceau à l'axe l, qui rencontrent l en s points fixes et s'appuient sur 

 ■V 71 (n H- 3) — s droites arbitraires, forment une sihrface axiale d'ordre 

 ln{n + 1) (w -H 2) — sn. 



L'axe l est une droite multiple d'ordre ^ n {n~ + Sti — 1) — sn, et 

 les s points fixes sont des points multiples d'ordre | n {n- 4- 3n — 1) 

 — sn — 1. 



Pour n = 2, s^= l nous retrouvons la surface axiale du sixième 

 degré avec un point quintuple 0, une droite quadruple l et quatre 

 directrices 01,02,03,0,, (§ 9). 



Elle renferme quatorze couples de droites simples, c'est-à-dire 

 huit transversales de l et de trois directrices, a^o^, \.^^; a^.■,^, h^^i'' 

 a,.,,, b^^; 0.3.3^, &.1J4, rencontrées respectivement par huit droites fe^, a^ ; 

 b-i, a-i', b^, <i2> ^i> '^'i passant par 0; puis six transversales d'un 

 couple de directrices menées par Ü qu'on peut désigner pai- 

 ttjo, «1-,) ^ui ^34' %4> %i! ^^ ^^^ ^*^"^ respectivement coupées par les 

 droites feg^, b.,i, 6.33, b^.^, b^^, b^^ dont chacune s'appuie sur deux direc- 

 trices et sur l'axe l. 



Pour n = 2, s = 2 nous rentombons sur la surface axiale du 

 quatrième degré avec deux poiiits triples, O et Q, considérée au § 7. 



Elle contient quatorze droites simples: en premier lieu les 

 transversales a.123 ^^ b^.,.-, des droites l, c^,g^ et 0.,; puis les trans- 

 versales a^o, ai3, ttoo d'un couple de directrices, menées par 0, sur 

 lesquelles s'appuient respectivement les droites b^,b^,b^, et, de 

 même, les droites b^.^, fej.:., 623. issues de Q et coupées par les droites 

 a.j, tto, a,, menées par 0. 



§ 14. Au lieu d'une surface axiale formée par des courbes 



sa dissertation inaugurale „Étude de quelques surfaces algébriques engendrées 

 pr/r- des courbes du second et du troisième ordre," Gand, 1902, p. 15—37. On y 

 trouve une représentation de S* sur un plan. 



