UN NOMBRE FINI DE DROITES. 245 



générales, coiisuléroiis la surface engendrée par les courbes C", 

 situées dans les plans menés par l'axe l, s'appuyant sur 2?^ droi- 

 tes c^ et a3'ant un point d'ordre (n — 1) sur la directrice d. 



Afin de déterminer le degré de cette surface, ce qui revient à 

 chercher le nombre de courbes qui s'ap[)uient sur {2n + 1) droites 

 c^. et sur la directrice multiple d, nous supposerons que les droi- 

 tes c , , , c ,„,... c, , , rencontrent l'axe l. 



La courbe G" qui se trouve dans le plan {c,^^ ^^l), y coupe les 

 droites c,, c.,, c.j, . . Co„ et passe {n — 1) fois par la trace de la droite 

 d, remplace 7i courbes vérifiant les conditions du problême. Eu 

 égard aux {n + 1) plans {cjj, nous arrivons à un nombre de 

 n {71 + 1) solutions. 



Si une courbe C' dégénère de manière qu'elle contient l'axe l, 

 la courbe supplémentaire C"~' se décompose en (« — 1) droites t 

 qui se croisent sur d. Pour construire une telle figure, nous déter- 

 minons une transversale t^o des droites Ci,c^,det l, et y ajoutons 

 les {n — 2) droites /3,i|,,...<„ du plan (t^J) qui unissent la trace 

 de d aux traces des droites C;., c^, . . . . c„. 



Il est clair qu'on obtient par ce procédé un nombre de solu- 

 tions égal à rij . 2. 



En somme, nous avons obtenu (w -t- 1) 7i + n {n — 1) = 2w- 

 solutions. D'où résulte: 



La surface axiale, engendrée -par des courbes d'ordre n, ayant un 

 ■point d'ordre [n — 1), est du degré 2n-. Elle renferme une directrice 

 d'ordre {n — 1), 2?t directrices simples et une droite d'ordre n {2n — 1). 



Remarquons que, pour ;;, =: 2, on retombe sur la S^, lieu de 

 coniques. 



La surface d'ordre 2n- qui vient d'être défini renferme un 

 nombre de courbes C" décomposables. 



En effet, soit ^^^ une transversale du quadruple Ci,C2,d,l; dans 

 le plan {t^J) on pourra tracer une courbe C"~^ ayant sur d un 

 point d'ordre (îî, — 2) et s'appuyant sur les droites c., . . . c.^,,. Cette 

 courbe forme avec la droite t^., une courbe C" située sur la surface. 



Puis, il y a visiblement 2 {n — 1 )"' courbes C" ~ \ situées dans 

 des plans du faisceau (Z), s'appuyant sur- 2w — 1 droites c et 

 ayant un point d'ordre {n — 2) sur la droite d. Dans le plan 

 d'une telle courbe la jonction des traces de d et de la dernière 



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