246 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



directrice c forme avec C""^ une courbe decomposable du système. 



Le nombre de droites simples qui s'appuient sur les droites mul- 

 Hples l et d, est donc égal à 2w .2(ïi — 1)- + {in)^ . 2 ou bien à 

 2n {2n- — 2n + 1). 



En particulier, la surface axiale .S'*", lieu de cubiques à noeud, 

 renferme 78 droites et 78 coniques s'appuyant sur la droite double 

 d et la droite d'ordre quinze l. 



§ 15. Considérons maintenant le lieu des courbes C" dans les 

 plans du faisceau (l) qui ont un point d'ordre k sur la droite d 

 et s'appuient sur ^n{n -\- 3) — \ k {k + 1) droites c. 



En y ajoutant encore une droite c, afin de déterminer le degré 

 /", (n) de la surface, nous arrivons aux relations suivantes 



f,.{n) = n{n+l) + f]{n-\), 

 /,(7i-l) = (n-l)n+/,(n-2), 



f^, {k + 2) = {k + 2) {k + 3) + ƒ,, {k + 1). 



Or, ƒ,. (Ä;+l) désigne le degré de la surface axiale, lieu de 

 courbes C''"*"^ douées d'un point d'ordre k. C'est donc le nombre 

 2{k+ 1)2. 



En observant que nous avons trouvé 



et que ce nombre surpasse le nombre/,, (k + i) de | (/c + 1) k {k — 1), 

 nous pouvons énoncer le théorème complémentaire : 



La surface axiale douée d'une directrice d'ordre k est du degré 

 I n {n + i) (w + 2) - ^ {k + 1) k (k — 1). 



En particulier, il en résulte qu'une directrice double a l'effet 

 de diminuer le degré de la surface de deux unités. 



§ IG. D'une manière analogue, on peut déterminer l'ordre /..^('ft) 

 de la surface axiale avec deux directrices doubles. On obtient alors 

 une suite d'équations terminée par 



4,(5) = 5x6+43(4). 



Ici /,.,(4) représente le nombre de quartiques ayant quatre points 

 en commun avec l'axe l, s'appuyant sur neuf directrices c^ et 

 ayant des pt)iiits doubles sur les di-oites d^ et rf,. 



