UN NOMBRE KI NI DK DROITES. 247 



En supposant de nouveau que les droites C5, c,.,, c,, c^, c^ ren- 

 contrent l'axe l, il s'agit de considérer des culjiques décomposables 

 ayant des noeuds sur d^, d., et s'appuyant sur c,, C2, c^, c,,. 



Or, ces conditions sont vérifiées en premier lieu par toute conique 

 qui rencontre les six droites d,, d^, c,, c^, c.^,c,^, complétée par la 

 jonction de ses intersections avec d,, d^; cela nous fournit huit 

 cubiques dégénérées. 



Puis, une transversale des droites /, d^, d^ et c,, peut être com- 

 binée avec la conique qui la rencontre sur d,, d., et s'appuie 

 sur c,, Cj et c.,. 



De cette manière, on obtient encore huit solutions. 



Donc, au lieu du nombre ƒ (3) = 20, il faut écrire ƒ22 (3) = 16, 

 de sorte que la surface axiale avec deux directrices doubles est de 

 Vordre ^ n {n 4- 1) (w + 2) — 4. 



§ 17. Le nombre des courbes du quatrième ordre dans les 

 plans du faisceau l, ayant des noeuds sur les droites clj, d^, d^ 

 et recontrant les droites Cj, c,, c^, c^, Cj, Cg, ne peut être déter- 

 miné par le procédé employé jusqu'ici. 



En effet, si les droites c^, c^, c^, c-^, c,-, coupent l'axe l, il s'agit 

 de construire des cubiques à trois points doubles. Or, on obtient 

 une telle figure en combinant une droite double rencontrant l, 

 d,, dj ^^ '^si avec une droite arbitraire qui s'appuie sur cette 

 transversale, sur l et sur r,. Par conséquent, cet arrangement des 

 droites c est ti'op spéciale, pour qu'on puisse utiliser le principe 

 de la conservation du nombre. 



Toutefois, une légère modification nous permettra de déterminer 

 le nombre cherché. 



Supposons que les droites c^, Cj,. c,; et ^3 rencontrent l'axe L 



L)ans le plan (d-^l), considérons le réseau de quartiques passant 

 par les traces de Cj, Cj, c^, c^, Cg, c^ et ayant des noeuds sur 

 d,, d.,. Le lieu des points où une courbe du réseau a un troisième 

 noeud, est, comme on sait, une courbe du neuvième degré. Par 

 suite, le plan (tij^) contient neuf quartiques ayant un troisième 

 noeud sur d^. 



Il va sans dire que chacun des plans {c^ï), (c^l), (e^/) renferme 

 une courbe qui représente quatre solutions du problême. 



Quant aux quartiques décomposables, on aura alfaire avec des 

 figures constituées par l'axe / et une cubique dégénérée, menée 



