248 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



par le point {l,d-J, ayant des noeuds sur d^, d,^ et s'appuyant 

 sur Cj, C2, C3. 



Ces conditions sont satisfaites d'abord par chacune des six 

 coniques qu'on peut tracer par le point {l,d.^) de sorte qu'elles 

 rencontrent les droites rfj, d^, c,, c,, c^ (§ 13), pourvu qu'on y 

 ajoute la jonction de ses intersections avec d^, d^. 



En second lieu, considérons la transversale de d^ et d^ menée 

 par le point {l,d.^); elle forme une cubique dégénérée avec la 

 conique qu'elle coupe sur dj, d^ et qui s'appuie sur c^, c^, C3. 



Enfin on arrive à six nouvelles figures en construisant une 

 transversale des droites l, d^, d^, c,.(k = 1,2,3) et la conique qui 

 passe par le point {l,d-.). s'appuie sur les droites c^, t: et rencontre 

 la transversale sur d, et ^2- 



En résumé, le nombre de quartiques vérifiant les conditions du 

 problème est égal à 9 + 12 + 6 + 1 + 6 = 34. 



Il en résulte que la surface axiale avec trois directrices doubles 

 est de l'ordre ^7i{n + 1) (n + 2) — 6 



§ 18. D'une manière analogue, on peut déterminer l'infiuence 

 de d directrices doubles. 



Soient données la droite l, d droites d et /^^ = ?r n {n + 3) — 'id 

 droites c. 



Pour déterminer le nombre cp (n, 3) des courbes C" dont le plan 

 passe par l, qui s'appuient sur (7^^ + 1) droites c et ont un point 

 double sur chaque droite d, nous supposons que ^0 droites d et 

 (n + 1 — 20^) droites c rencontrent l'axe /. 



Alors il y a trois groupes de courbes vérifiant les conditions 

 du problème: (1) courbes dans un jjlan (ld), (2) courbes dans un 

 plan (le), (3) courbes G" decomposable? contenant la droite l. 



(1) Dans un plan (Idi) il y a un réseau de courbes C" passant 

 par les traces des (7^^ + 1) droites c et ayant un noeud dans la 

 trace de chacune de (S — 1) droites d; en effet, on a 



Ih (n + 1) (n + 2) — Sä] + 3{ö—l)=^n (n + 3) — 2. 



Or, ce réseau renferme 3 (?!, — 1) courbes ayant un noeud sur 

 d, ; par suite le groupe (1) contient 3 (71 — 1) ^y courbes satis- 

 faisant aux conditions. 



(2) Dans un pian (/c,) on peut mener une courbe C" par les 

 traces des 7^^ droites c et deux fois par chaque trace d'une droite 



