UN NOMBRE FINI DR DIÎOITKS. 249 



d; en efïet, on a y^^ + iii) — InÇn + ci). Remarquons que cette 

 courl)e rencontre n fois la droite c^, du sorte qu'elle représente n 

 solutions du problême. 



(3) Si l'axe l fait partie d'une (f decomposable, la courbe com- 

 plémentaire passe par (\ points de /, s'appuie sur (/^^ + 1 ) — 

 (n + \ — 23q) droites c et a des noeuds sur (rî — rî^,) droites d. 



Puisqu'on a f5„ + (y,, -I- 1 ) — (n + 1 — 2(5,, ) + 3 (t^ — 1»\, )= 'r'>^ (n + 1 ), 

 il y a un nombre fini de ces courbes G"'^ qu'il faut désigner par 

 (p{n — '[, (i - r!)~„) — 3(^ {n — 1). 



En effet, le nombre (p {n — \,d — d^) se rapporte au cas où 

 aucune des directrices simples rencontre l'axe l; si une d'elles 

 s'appuie sur l, le degré de la surface axiale est diminué de (n — 1) 

 unités (comparez le § 13). 



Par conséquent, nous avons obtenu la relation 



(p {n, ö) = 3in — 1) 5„ + (M 4- 1 — 2Öq )n + (p{n — \,ô — d^) — [n — 1 ) (Îq , 

 ou bien 



(f> (n, d) r= (p{n — 1 , ^ — <^^) + n{n + \) — 23^. 



En appliquant cette formule, on arrivera enfin à un nombre 

 (p (p, 0) relatif à un groupe de courbes C'' sans points doubles ; 

 il est clair qu'on peut remplacer fp{'p,0) par /(^). 



Fa\ comparant la formule de réduction avec la riilation 



f{n) =:f{n — 1) + w (il + 1), 



relative aux cas des courbes générales, on obtient visiblement 

 l'équation 



(p{n,d)=f{n)-2â. 



Par exemple, le degré de la surface axiale engendrée par des 

 quintiques à six noeuds se détermine par la suite suivante: 



(p (5,6) =r q> (4,3) + 5.6 — 3.2, 

 r^ (4,3) = ^/' (3,1) + 4.5 -2.2, 

 rp (3,1) = (^ (2,0) + 3.4 — 1.2, 

 <P (2,0) = /• (2) = 2.3 4- 1.2. 



Il en résulte fp (5,6) = f{5) — 6.2 = 58. 

 Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant: 

 Le lieu des courbes d'ordre n, situées dans les plaiu d'im faisceau 

 (l), ayant des points doubles sur d droites d et s'appuyant sur 

 ^ n {n + 3) - 3f> droites c, est une surface axiale d'ordre <p {n, 3) = 



