250 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



^n{n-\- \) {n + 2) — 2S, avec d droites doubles d et une droite 

 multiple l d'ordre v {n,()) — n. 



§ 19. Supposons qu'une directrice double d rencontre l'axe /. 

 Alors tout point de d peut être considéré comme un noeud d'une 

 courbe C" .située dans le plan (Id) et vérifiant les conditions addi- 

 tionnelles. Donc, ce plan appartient à la surface axiale, et le lieu 

 des courbes ayant un noeud dans le point d'intersection D des 

 droites d et l, sera une surface d'ordre ff{n,8) — 1, ayant en D 

 un point multiple d'ordre ff {n, 8) — {n — 1). 



Eu égai'd au théorème du § 13, on an-ive donc à l'énoncé 

 suivant : 



Le lieu des courbes du n" degré qui rencontrent la droite l en s 

 points fixes et ont des noeuds en s, points fixes de l, tandis qu'elles 

 s'appuient sur \n(n H- S) — 3^ — s — Ss^ directrices simples et sur 8 

 directrices doubles, est une surface axiale de l'ordre ^«(w -H 1) (w +2) 

 — 2(5 — ns — §2. 



§ 20. Supposons maintenant qu'une surface axiale soit engen- 

 drée par des courbes d'ordre (^< + r), douées d'un point d'ordre .« et 

 d'un point d'ordre i\ respectivement situés sur les droites met?;, ; 



soit fi>r. 



Alors le noml)re de directrices simples doit être égal m 



1- (/< + /■) (,.. + I' + 3) — \ u (,« + 1 ) — [ r (r + 1) =r ,, ,■ + /< + /-. 



Afin de déterminer le degré de la surface, ou, ce qui revient 

 au même, le nombre if (,« + i> ; ,", /■) des courbes s'appuyant sur 

 m,n et sur (/« -t l) {r -+- 1) droites simples, supposons de nouveau 

 que (,« + z' 4- 1 ) de ces droites rencontrent l. 



Il est clair que chacune de ces droites est (ƒ< + r) fois coupée 

 par l'unique courbe située dans le plan qui l'unit à l'axe l 



Outre ces (,« + *•) (,« + '• 4- 1) solutions propi-es on a les courbes 

 impropres dont fait partie l'axe l. 



Puisque la courbe complémentaire d'ordre (/< + ;■ — !) doit avoir 

 un point f«^''"' et un point v^^", elle se composera d'une droite qui 

 s'appuie sur les directrices multiples m, n et d'une courbe de 

 degré (," + r — 2) avec un point (a — 1 )'*'''' et un point (r — 1)' ". 



Or, il y a un nombre de ip {,u + v — 2; « — 1, r — 1) courbes 

 ^,/t + ._2 ^^^ s'appuient sur les ,« ;• directrices que / ne rencontre 



