UN NOMHRK KIM DK DROITES. 251 



pas. La (Iroito complémentaire unit les traces de m et 'ti, sur le 

 plan de la courbe correspondante. 



Puis, il peut arriver que cette droite coupe une des /« v direc- 

 trices; le plan qu'elle détermine avec / renferme alors une courbe 

 d'ordre (« + *' — 2) passant par les traces des (.« r — 1) autres 

 directrices et ayant des points multiples d'ordre (/( — 1) et (z' — 1) 

 sur m et n. 



Il est visible qu'il y a 2<( /■ solutions impropres de cette espèce. 



Donc, on a la suite suivante de relations: 



\p (,« + i' ; ,((, ;■) = (/( + (•) (/( -I- ;; -f 1 ) -(- 2/( r -f 1/; (,« -f- ;' - 2 ; 1« - 1 , i' - 1 ), 



,/,(,„_{-,,_ 2; ,«-l,r-l )=.(<.+!'- 2)(,a+r-l)+2(a--l)(/'-l)+,/,(«+;/_4;,«-2,i'-2), 



1/, [fi _ r-|_4; /« - i'+2,2) = (.( ^- r+S) (u - ,^+4) +2 2 (,« - ;'+2) + <p (a - ('+2; ,« - r+l , 1 )_ 



Or, il est évident que l'on a (§ 14) 



xp [fi-i/ _|_2; fi-r + 1,1) = 2 (,u-i/ + 2)^. 



Le nombre des relations étant (;' — 1), il en résulte visiblement, 

 pour II — i> = f , 



.H,'.+r;.<,/0=^(.-l)(>'^+13f+28) + (r-l)(r-2)(3.+16)+2(.-l)(^_2)(.-3) + 



+ 2(. + 2)^ 



Pour '^il, on retrouve naturellement le nombre connu 



f. (,u + 1 ;, «,!):. 2 (.u + 1)^ 



Pour I' = 2, on aura 



V/(,u + 2;«,2) = 3(.u4-l)(,a + 2). 



Pour <■ = 3, on trouve 



>/,(,„ + 3;,«,3) = 4(,.< + l)(,u + 3). 



Supposons qu'on ait en général 



t/; ((( + r - 2 ; ft - l,v — 1) = !■ ,u (,a -I- i' - 2). 



Parce que 



ip [fi 4- r ; f(, j») = (fi -f 1') (f( -I- ;■ -I- 1 ) -I- yi (fj -I- r _ 2 ; /t - 1, j' - 1), 



il en résulte la relation 



'/' (,« + '' ; .", '■) = (," + '') (." + 1 ) (" + 1 )• 



Par conséquent nous avons obtenu le théorème suivant: 

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