252 SURFACES ALC4KßRIQUES RENFERMANT 



La surface axiale engendrée par des courbes d'ordre (/< + v) avec un 

 point d'ordre /< et im point d'ordre v, est du degré (,» + v) (/i + 1 ) (v + 1). 



§ 21. Soit maintenant n > ,« + v, et considérons la surface axiale 

 formée par des courbes d'ordre n ayant un point ,«''''' et un point v'"'. 

 On arrive d'abord aux relations 



^) {n; u, v) =■ n {n + \) + n> {n — 1 ; ,«, v), 



,/. (^„ + V + 1 ; ,t, v) = (,.( + V + 1) (,« + V + 2) -h ip{ti + v; II, v), 



qui ont la même forme que les relations correspondantes de la 

 fonction f{n). 

 Donc, on aura 



ip (n ; /(, v) = \p (<i + V ; ft, v) + ƒ (n) — ƒ (,« + v). 



Or, on a 



f {il + v) - i// (.< + V ; ,«, v) = I {^ + v)(.t + V + 1) (,« + V + 2) - (,« +v) (,. +l)(v +1) = 



= I (,,t + 1/) 0*2 _ ,j ^ 4- ^2 - 1) =: I (■„ 3 - _„) + ^ (v-'' - v). 



Par suite, on trouve finalement 



,;, {n-,!,, v) = i,n{n+ 1) (m + 2) — | Cu-l)/» (,« + l)-^(v— l)v(v + 1). 



En comparant cette relation avec la formule du § 15, on voit 

 que les corrections dues aux deux droites multiples sont mutu- 

 ellement indépendantes. 



§ 22. Examinons encore l'influence d'une directrice cuspidale. 



Soit donné un faisceau de courbes d'ordre n ayant des noeuds 

 en un point N. Les couples de tangentes en N forment une invo- 

 lution dont les rayons doubles représentent les tangentes à deux 

 courbes qui ont un point de rebroussement en N. Donc, un faisceau 

 de courbes C" , avec ^(n'^ + Sn — 8) points de base simples et un 

 point de base double, renferme deux courbes avec un point de 

 rebroussement. 



Si, pour n = 3, quatre points de base sont placés sur une droite, 

 chaque courbe se compose de deux droites fixes et une droite 

 variable. Donc, les rayons doubles de l'involution coïncident, et 

 il y a une cubique, formée par une droite simple et une droite 

 double; cette cubique remplace deux courbes à point de rebrous- 

 sement. 



