UN NOMBRE FINT DK DItOITES. 253 



Cela posé, cherchons le degré (ki lieu des courbes C" dans les 

 plans menés par l, ayant des points de rebroussement sur hi 

 droite r et rencontrant { («- + 3 w — 8) droites c. 



En y ajoutant encore une droite c, et en suppossant que {n + 1) 

 des droites c s'appuient sur l'axe l, on voit en premier lieu, que 

 cliaque plan (le) contient deux courbes C" qui représentent 2 w solu- 

 tions du proVjlème. puisqu'elles rencontrent l'une des droites c en 

 11 points. 



Les autres courbes vérifiant les conditions, doivent dégénérer en 

 / et en une G" avec un point de rebroussement sur r en rencon- 

 trant l {n — 1) (/i 4-2) — 3 droites fixes. 



Par suite, on obtient la relation suivante: 



F (71) = 2 n {71 + 1) + F{7i — \}. 



En l'applicpiant à plusieurs reprises, on arrive tinalement aux 

 formules 



i^(4) = 2.4.5 + i^(3), 

 i'^ (3) = 2 . 3 . 4 + i^ (2). 



Ici F (2) désigne deux fois le nombre des droites qui s'appuient 

 sur l, r et deux autres droites; c'est donc 4. 

 Maintenant on trouve facilement 



F On) = in{n + l){n + 2) — 12. 



Évidemment, chaque directrice c est un droite double de la 

 surface et la directrice r est doublement cuapidale. Finalement, 

 l'axe l est une droite multiple d'ordre F (n) — 2n. 



§ 23. Revenons à la surface axiale d'ordre ƒ (n). Soit G'' une 

 courbe gauche quelconque, d'ordre p, Cj une directrice de la surface. 



Il est clair que pf{n) courbes C" dont les plans passent par 

 l'axe l, sont rencontrées par G'' et par les ^ n (n -t- 3) directrices c. 



Considérons maintenant la surface engendrée par les courbes 

 C" qui s'appuient sur G'' et sur ln{n + Z) — 1 droites c ; ce sera 

 visiblement une surface d'ordre j)/ (n). 



Puisque tout plan, mené par /, contient p courbes C", l'axe / 

 sera une droite multiple à' ordra p f {71) — pn, tandis que chaque 

 directrice c est une droite p^^". 



Il est visible qu'on peut, de la même manière, remplacer une 



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