254 SURFACES AL«ÉB111QUES liENFERMANT 



des directrices c de la nouvelle surface par une courbe gauche G''. 



En continuant d'appliquer ce procédé, on arrive finalement à 

 une surface d'ordre ƒ (n) JIp,., [^ =^ 1 j usqu'à k= ln{n + 3)^, formée 

 de courbes 0" qui s'appuient sur l n {n + 3) courbes gauches d'or- 

 dre 'p,. et rencontrent n fois l'axe l. 



Il va sans dire que cette nouvelle surface axiale se décomposera 

 si les directrices ont des points en commun. 



En retournant à la surface axiale avec U7ie directrice courbe 

 G'', nous supposons que cette courbe rencontre {p — 1) fois l'axe; 

 alors tout plan, mené par /, renferme ime courbe (J". Parce que 

 la courbe G'' rencontre la surface axiale d'ordre f{ii) enpf{n) — 

 — {p — l)\_f{n) — w] points situés hors de l'axe l, la nouvelle 

 surface axiale sera d'ordre f{n) + {p — l)n. 



Si la directrice G'' a un point en commun avec une droite c, 

 le plan qui unit ce point à l'axe renferme un faisceau de courbes 

 G". Ces courbes n'appartiennent pas à la surface, puisqu'elles ne 

 rencontrent pas les directrices c et G'' en deux points diftérents; 

 par suite, le degré de la surface axiale est diminué d'une unité. 



Surfaces d'ordre n avec une droite multiple 

 d'ordre (n-2). 



§ 24. Si la surface S" renferme la droite multiple l d'ordre 

 (n—2), tout plan, mené par /, contient une conique, située 

 dans S". 



Cherchons le degré de la courbe formée par les centres de ces 

 coniques. 



Cela revient à déterminer le nombre des intersections de cette 

 courbe avec le plan à l'infini, ou bien le nombre des paraboles 

 du système. 



L'intersection de S"' avec le plan à l'infini est une courbe G'^ avec 

 un point (n — 2)'''' L^, donc une courbe de la classe n{7i — 1) — 

 {n — 2) (« — 3) =^ An — 6. Elle possède un nombre de tangentes 

 issues de L^, représenté par {4n — 6) — 2 (?i — 2). 



