UN NOMBUK FINI DE DKOITRS. 



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Puisque chacune de ces tangentes détermine avec l un |)lan 

 qui i-encontre S"' en une parabole, le lieïi des centres des coniques 

 sera une courbe gauche d'ordre 2 (n— 1). 



Comme tout plan mené par l contient une conique, l'axe l est 

 une sécante multiple d'ordre (2% — 3). 



Parce que la courbe des centres rencontre »S'" (2w — 3) {n — 2) 

 fois sur / et (2w — 2) fois à l'infini, il y a n[2n — ^) — 

 {2n — 3) [n — 2) — [2n — 2) = 37i — 4 coniques dont le centre se 

 trouve dans S'\ hors de l, donc sur la conique même. 



Puisqu'une telle conique se compose de deux droites, on a le 

 théorème bien connu : 



Une surface d! ordre n avec une droite {n — 2)'' ' contient {ßib — 4) 

 couples de droites simples s appuyant sur la droite multiple. 



§ 25. Cherchons encore le nombre d'hyperboles équilatères «lu 

 système . 



Parce que les points à l'infini d'une telle hyperbole sont conju- 

 gués par rapport au cercle de l'infini, /^, nous déterminerons le 

 degré de la courbe, lieu des points Q^ qui, sur les droites issues 

 de L^, sont, par rapport au cercle /^, conjugués aux points P^ 

 où une telle droite coupe la surface S". 



La polaire du point L^ par rapport à J^ rencontre C'^ en n 

 points P^ dont les conjugués Q_^ coïncident avec L^. Le lieu 

 cherché a donc un point ii""" en L^. 



D'ailleurs, toute droite à l'infini, menée par L^, porte deux 

 points Q^ ; par suite, les points Q^ forment une courbe d'ordre 

 (71 + 2). 



Cette courbe rencontre C" n{7i — 2) fois en L^, et 2n fois sur 

 7^ ; en effet, si un point P^ se trouve sur le cercle de l'infini, il 

 coïncide avec son conjugué Q^. 



Les intersections restantes, au nombre de n{n + 2) — n{n— 2) — 

 — 2'H, = 27i, forment visiblement n couples de points conjugués par 

 rapport à I'^ ; par conséquent elles appartiennent à n hyperboles 

 équilatères. 



Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant: 



Une surface d'ordre n avec tme droite (n — 2)'' " renferme n hyper- 

 boles équilatères, (2n — 2) paraboles et (Zn — 4) coniques dégénérées 

 en un couple de droites. 



