256 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



Remarquons encore qu'il y a {2n — 3) coniques dont le centre 

 se trouve sur la droite multiple. 



§ 26. Si, en particulier, 8"' renferme une tlroite double d rencon- 

 trant la droite {n — 2)^'" /, la courbe C"^ sera de la classe (4?i — 8) 

 et le lieu des centres devient une courbe d'ordre [2n — 4). 



Puisque la droite douljle d représente une conique du système, 

 un de ses points doit être situé sur la courbe des centres. Il en 

 résulte que celle-ci rencontre S" en n{2n — 4) — (2n — 5) (% — 2) — 2 — 

 — (2« — 4) = 3w — 8 points. 



Par conséquent, une droite double s' appuyant nur la droite {^n — 2/' ^ 

 reiiiplace quatre couples de droites. 



§ 27. Il résulte du § 1 que l'on peut faire passer une S'\ avec 

 une droite (n — '2)'''" donnée, par cinq droites arbitraires qui ne 

 s'appuient pas sur la droite multiple, à condition que n > 6. 



D'autre part, on déduit du § 12 que cette surface doit se com- 

 poser de la surface axiale S^, engendrée par des coniques, et d'un 

 nombre de plans. 



Par conséquent une surface axiale S", avec une droite (n — 2)^''^, 

 renferme tout au plus quatre droites c, si l'on a n > 8. 



Pour démontrer l'existence d'une telle S", revenons aux remar- 

 ques faites au § 23. 



Soit (?'' une courbe gauche qui rencontre {p — 1) fois l'axe l 

 d'une surface axiale S^, à cinq directrices droites c. Supposons, 

 de plus, que G^ s'appuie respectivement en /j, ;%, /;,, 74 points 

 sur les droites Cj, c,, c^, c^. Alors le nombre d'intersections de 

 G^ et S^, hors des droites l et c, est égal à 8p — 6(p — 1) — ^,^y. 



Par suite, on a le théorème suivant: 



Le lieu des coniques qui rencontrent deux fois la droite l et s'ap- 

 puient en des points différents sur quatre droites c et sur une courbe 

 gauche d'ordre p, qui rencontre l, Cj, c.^, c^, C4 en {p — 1), 71,72, 73, 7 n 

 points, est une surface axiale d'ordre {2p ^- 6) — (/j -1- 7.^ + 7, + )\). 

 L'axe l est une droite d'ordre (2p -h 4) — -7. 



En posant 7,, = 0, le degré de la surface devient {2p + 6) ; pour 

 7, = 1, 72 = 73 = 74 = 0, on trouve {1p + 5) pour l'ordre. 



Par conséquent, on peut construire une surface d'ordre 2m, avec 

 une droite d'ordre (2m — 2), si l'on prend pour directrices une 



